| 數(shù)學教學方法改革之實踐與理論思考 |
| 南京大學哲學系 鄭毓信 教學方法的變革可以被看成新一輪數(shù)學課程改革順利開展的關(guān)鍵所在。就現(xiàn)實而言，一些新的教學方法得到了積極倡導，如情境設(shè)置、自主探索、動手實踐、合作學習等；但是，與盲目的追隨相比，在此更需要深入的理論學習與分析，從而在理論指導下更為自覺地去進行實踐，包括切實避免各種可能的片面認識與做法上的簡單化。 這事實上應(yīng)被看成數(shù)學教學方法改革深入發(fā)展的必然要求，即應(yīng)當努力超越純粹的“形式追求”轉(zhuǎn)而更為重視相關(guān)的實質(zhì)問題，并能通過積極的教學實踐與深入的理論研究不斷取得新的進步。以下從這樣的角度對所提及的各種方法作出具體分析；另外，筆者還將從一般角度對數(shù)學教學方法改革的問題作出進一步的論述。 一、情境設(shè)置與“貼近生活” 新課程特別倡導用具體的、有趣味的、富有挑戰(zhàn)性的素材引導學生投入數(shù)學活動。因為，這既可以幫助學生更好地認識數(shù)學的意義，對于調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性顯然也十分有利。但是，從教學實踐的角度看，在此顯然又應(yīng)提出這樣的問題：“情境設(shè)置”是否應(yīng)當被看成數(shù)學教學中引入課程內(nèi)容的唯一合理方法，以致在任何情況下都不應(yīng)采取其他的方法，即“單刀直入”地直接引出主題？ 為了回答這一問題，可以先來看下面的教例。 為了引出“平均數(shù)”的概念，教師首先設(shè)計了這樣一個情境。將學生分成人數(shù)相等的兩隊，通過和學生自由談話引出：“老師想了解一下咱們班這兩隊同學的拍球水平，你們說該怎么辦？”……在學生談出自己的不同想法以后，教師結(jié)合生活實際肯定了“每隊選幾個代表拍球”的做法，并在教室中實際組織了如下的活動：學生限時地拍球，教師記錄兩隊中每位同學的拍球個數(shù)；然后，教師又提出了如下問題：“現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了兩隊中每位同學的拍球個數(shù)，哪隊同學拍球水平高？你有自己的想法嗎？”……在獨立思考和全班交流后，教師又以游戲者的角色加入其中拍球水平低的一隊，從而引出了“在人數(shù)不相等的情況下，比什么才能公平”這樣一個問題，并“通過辯論”得出了如下的結(jié)論：“比較平均每人拍球的個數(shù)才公平”。這樣，我們就由上述的特殊情境最終引出了“平均數(shù)”的概念。 上述做法對于調(diào)動學生的學習積極性無疑是有益的；但是，由于“平均數(shù)”的概念對大多數(shù)學生來說并非完全陌生的，毋寧說，他們已由日常生活在這一方面積累起了一定的經(jīng)驗和知識，因此，我們在此就應(yīng)認真考慮這樣一個問題：與花費很多的時間和精力去組織“拍球”這樣一個活動（或其他的類似活動）相比，以下的做法是否更為可取，即單刀直入地直接提出“你們有誰知道平均數(shù)是什么嗎”這樣的問題。顯然，后一做法不僅更好地體現(xiàn)了教學活動的高效性，也可充分調(diào)動學生在這一方面所已具有的各種知識和經(jīng)驗，而學生經(jīng)由“拍球”活動所獲得的經(jīng)驗或體會則不能不說與“平均數(shù)”概念的學習仍有較大的距離。 另外，由以上的實例我們也可引出這樣一個結(jié)論，即應(yīng)當對“情境設(shè)置”提出更為明確的要求，這應(yīng)被看成好的“情境設(shè)置”所應(yīng)滿足的一個基本要求：就相關(guān)內(nèi)容的教學而言，特定情境的設(shè)置不應(yīng)僅僅起到“敲門磚”的作用，也即僅僅有益于調(diào)動學生的學習積極性，還應(yīng)當在課程的進一步開展中自始至終發(fā)揮一定的導向作用。再則，由于課堂教學的高效性正是我國數(shù)學教學的一個長期傳統(tǒng)[1]，因此，從這樣的角度去分析，這顯然也就可以被看成“在課程改革這一新形勢下如何繼承與發(fā)揚我國優(yōu)秀的數(shù)學教學傳統(tǒng)”這一重要課題的一個重要方面，即應(yīng)當如何去處理好“情境設(shè)置”與“教學的高效率性”這兩者之間的關(guān)系。 其次，就當前而言，關(guān)于“情境設(shè)置”的考慮顯然又直接關(guān)系到了新一輪數(shù)學課程改革的另一重要指導思想，即應(yīng)當“貼近學生的現(xiàn)實生活，不斷溝通生活中的數(shù)學與教科書上數(shù)學的聯(lián)系，使生活和數(shù)學融為一體。”[2] 由于在先前的另一篇文章中筆者已對數(shù)學課程改革的生活化取向進行了分析，[3]在此就僅限于指明以下幾點。 第一，“情境設(shè)置”不應(yīng)唯一地被理解為“生活情境”；恰恰相反，這或許可被看成語言學習所給予我們的一個重要啟示：如果說生活在英國即是學習英語的最好方法，那么，學習數(shù)學的最好方法也就是為學生創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的“數(shù)學情境”。這也就是指，我們應(yīng)當努力防止對于“生活數(shù)學”的片面強調(diào)，包括用“生活味”去完全取代數(shù)學教學所應(yīng)具有的“數(shù)學性”。例如，著名數(shù)學家、數(shù)學教育家弗賴登塔爾就曾對所謂的“情境教學”提出了直接的批評：“當前已經(jīng)有不少人對數(shù)學教育提出了數(shù)學化的要求，但我擔心其結(jié)構(gòu)太狹隘，常常把數(shù)學化理解成最低層次的活動……最時髦的提法就是為現(xiàn)實某個微小而孤立的片斷──所謂‘情境’進行數(shù)學化，也就是為情境建立一個數(shù)學模型。”與此相對立，弗賴登塔爾指出，“毫無疑問學生也應(yīng)該學習數(shù)學化，當然從最低的層次開始，也就是先對數(shù)學內(nèi)容進行數(shù)學化，以保證數(shù)學的應(yīng)用性。同時還應(yīng)該進到下一個層次，即至少能對數(shù)學內(nèi)容進行局部的組織。”[4]顯然，弗賴登塔爾的這些言論對于我們當前的實踐也有著十分重要的指導意義。 第二，這正是認知活動現(xiàn)代研究的一個重要結(jié)論，即明確肯定了認知活動的情境相關(guān)性，從而，即使是同樣的問題在不同的情境中也完全可能具有不同的意義；進而，由于“課堂本身也構(gòu)成一個特殊的情境，因此，以下現(xiàn)象的出現(xiàn)也就不足為奇了，即在學校這樣一個特殊的環(huán)境中，學生們往往會（有意識或無意識地）忽視各種現(xiàn)實的考慮，從而，“現(xiàn)實問題”的引入就未必能達到使“學校數(shù)學”更接近實際生活的目標。例如，以下就可被看成這一方面的一個典型例子[5]：在一堂觀摩課的教學中，在對長方形的面積公式進行了總結(jié)以后，作為相關(guān)知識的具體應(yīng)用，教師設(shè)計了這樣一個問題，即要求學生就所給出的一個房間的平面圖（其中有標出了尺寸的一個窗戶、一張床和一個方桌）進行計算以對房間加以裝飾。當時所發(fā)生的情況是：所有學生最終所得出的都是精確的面積數(shù)（精確到了平方厘米），也即非但沒有采取合理的近似值，也完全沒有想到在實際生活中我們還必須給窗簾、床罩等加上一定的“裙邊”；恰恰相反，當這位教師在平面圖上進行了實物模擬并追問學生對所已完成的工作有什么看法時，被提問的學生又幾乎異口同聲地回答說：“十分滿意”“很漂亮”；而只是經(jīng)過教師的多次啟發(fā)，學生們才最終“意識”到需要給窗簾、床罩等加上一定的“裙邊”。顯然，上述現(xiàn)象的出現(xiàn)并非是由于教師的教學有任何不恰當?shù)牡胤?，只是更為清楚地表明了學習活動的環(huán)境相關(guān)性，特別是，我們不能期望單純依靠在教學中引入更多的“應(yīng)用題”（現(xiàn)實問題）就可有效地解決數(shù)學教學嚴重脫離實際的這一長期存在的“老問題”。 當然，以上的論述并非是指我們不應(yīng)積極地去倡導數(shù)學與實際生活的緊密聯(lián)系，毋寧說，這是從又一角度更為清楚地表明了這樣一點，與對于“生活化”的片面強調(diào)（如“數(shù)學向?qū)W生日常生活的回歸”這樣的提法）相比，我們事實上應(yīng)當更加重視對于“日常數(shù)學”與“學校數(shù)學”的不同性質(zhì)及其相互關(guān)系的分析，并切實做好兩者間的必要轉(zhuǎn)化，包括由“日常數(shù)學”上升到“學校數(shù)學”，以及由“學校數(shù)學”向現(xiàn)實生活的“復(fù)歸”。[6] 二、合作學習與“學習共同體” 對于合作學習的提倡顯然也是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特點。這就正如《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》所指出的，“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式。”[7] 那么，在教學中我們究竟又應(yīng)如何去實行“合作學習”呢？相對于純粹的理論論述而言，在此顯然更需要積極的教學實踐以及對于實踐活動的認真總結(jié)。例如，以下就是江蘇省常州市的同行通過課改實驗的回顧與思考所得出的若干體會與經(jīng)驗：“第一，不能搞大量淺層次、低水平操作，例如，不要動輒搞小組討論，有些問題可以馬上由學生回答的就無需進行小組討論。第二，合作交流必須建立在明確分工、互助性學習的基礎(chǔ)上，組織工作要落實到位，不能搞形式上的合作。……否則，形式上分組，幾個同學圍在一起……給人以‘表面的積極性’和‘一切順利’的假象，造成新的兩極分化。第三，合作交流必須建立在獨立思考的基礎(chǔ)上，……沒有經(jīng)過個體精思而匆忙展開的討論如無源之水，表達的見解既不成熟，也不具備深度，更談不上個性和創(chuàng)見。第四，要提供足夠的時間和空間讓學生充分展開討論。第五，教師要對學生活動進行有效監(jiān)控和及時引導。”[8] 上述的體會和經(jīng)驗顯然具有十分普遍的意義。當然，在此也還有許多問題需要我們積極地去作出進一步的探討。例如，就以上所論及的“小組討論”而言，究竟什么是這一方法最為有效的組織形式，特別是，“異質(zhì)分組”“同質(zhì)分組”又各有什么樣的優(yōu)點與局限性？再則，什么是采取“小組討論”最為恰當?shù)臅r機？我們又應(yīng)如何去處理在“小組學習”中所經(jīng)常會遇到的一些困難或問題，如“學生在一起會聊天，但不會討論”“學生的討論經(jīng)常偏離主題”“學生的說明別人聽不懂”“討論的時候教室變得很嘈雜”“老師應(yīng)在什么時候介入？如何介入？”“如何讀懂兒童解題的意義？”“運用討論的方式，學習的進度很慢”“如何解決家長對于‘小組討論’這一學習方式的疑慮？”等等。 值得指出的是，國際上（包括港臺地區(qū)）的相關(guān)實踐在這一方面也已為我們提供了不少有益的啟示或經(jīng)驗。例如，依據(jù)臺灣同行的經(jīng)驗，在教師提出問題后，馬上組織“小組討論”往往不能取得較好的效果；與此相對照，更為恰當?shù)淖龇ㄊ鞘紫茸寣W生獨立解題，然后再進行全班交流，而只是在對各種方法進行比較時才依據(jù)觀點的不同進行分組并以此為單位進行全班交流和辯論，因為，只有在后一種情況下，小組討論的優(yōu)越性才能得到充分發(fā)揮并很好地避免這一學習形式所可能造成的消極后果。 另外，除去做法上的具體體會以外，我們又應(yīng)不斷加深對于“合作學習”本身的理解。例如，就當前而言，以下的思想就具有特別的重要性：“合作學習”并非僅僅是指學生間的互動，而且也應(yīng)包括師生間的積極互動；另外，我們又不應(yīng)將“小組學習”看成“合作學習”的唯一形式，恰恰相反，教師應(yīng)當根據(jù)具體的教學內(nèi)容、對象和環(huán)境靈活地應(yīng)用各種可能的教學形式，包括全班討論、師生問答與集體評價等。 應(yīng)當提及的是，國際上關(guān)于學習活動的現(xiàn)代研究已從理論上為我們更為深入地去認識“合作學習”的意義提供了重要啟示。具體地說，我們在此所論及的主要是由“認知心理學（信息加工理論）”向“情境理論”的發(fā)展，而后者的最重要特征就在于著眼點的變化，即將研究對象由個體轉(zhuǎn)向了群體，轉(zhuǎn)向了個體與群體的關(guān)系，以及由唯一注重個體的認知活動（意義建構(gòu)）轉(zhuǎn)向了個人的社會定位（身份的確定）。例如，在筆者看來，就只有從后一角度去分析，我們才能更為深刻地去認識以下轉(zhuǎn)變的意義：“我從孩子們的日記中看到他們分析事理的能力愈來愈強；從課堂中聽到他們使用的詞匯愈來愈清晰有理；從他們的同學互動中感覺到容忍與愛心的滋生，一切的一切，讓我覺得不只是與他們共同討論數(shù)學而已，重要的是培養(yǎng)一個會做理性批判思考、會主動學習、會容忍異己欣賞別人以及有世界觀的國民。”[9]顯然上，上述的變化事實上也就為我們切實做好“合作學習”提出了更高的要求：我們不僅應(yīng)當高度關(guān)注每個學生的參與和發(fā)展，而且也應(yīng)十分重視如何去創(chuàng)建一個好的“學習共同體”，并使每個學生都能成為共同體的積極一員。 也正是從這樣的角度去分析，筆者以為，這事實上也就可以被看成好的“合作學習”所應(yīng)滿足的一些基本要求，即應(yīng)當處理好“互動與制約”“分工與分享”“創(chuàng)新與繼承”這樣三個方面的辯證關(guān)系，特別是，就當前而言，我們應(yīng)突出強調(diào)這樣幾點：第一，合作學習并非僅僅是指在共同體的各個成員之間存在積極的互動關(guān)系，而且也是指對于相應(yīng)規(guī)范的自覺接受。例如，這就是后者的一項重要內(nèi)涵，即每個學生都應(yīng)學會尊重別人，欣賞別人。第二，合作學習又并非是指對于共同的學習活動在形式上的參與，包括在不同成員之間進行了一定的分工，而主要是指各個成員有著共同的目標或“使命感”，并能真正做到信息與內(nèi)容的“共享”。例如，就當前而言，我們顯然應(yīng)特別關(guān)注相對較為后進的學生，保證他們也能真正做到對于“共同活動”成果的共享。第三，從共同體的角度去分析，學生就由“合法的邊緣參與者”逐漸成為了“核心成員”，而這事實上也就清楚地表明了在“創(chuàng)新與繼承”之間所存在的重要關(guān)系，特別是，對于已有文化傳統(tǒng)的繼承應(yīng)被看成成功創(chuàng)新的一個必要條件。 最后，就當前的實踐而言，筆者以為，以下三個問題應(yīng)引起我們的特別重視，或者說，這為我們深入地去開展相關(guān)的教學研究提供了重要的課題。 第一，應(yīng)當如何去認識與把握數(shù)學教學在這一方面的特殊性？ 第二，應(yīng)當特別重視語言作為一種“中介”在合作學習中所發(fā)揮的特殊作用。例如，無論在教學中采取了什么樣的合作形式，這顯然都應(yīng)被看成一個基本的追求目標，即應(yīng)當幫助學生學會清楚地對自己的思想作出表述以及更好地去理解別人（包括教材）。 第三，正如上面所已提及的，在實施“合作學習”的過程中我們應(yīng)特別關(guān)注較為后進的學生乃至一般學生在共同體中的處境。例如，正是從這樣的角度去分析，以下的做法就不能說是完全恰當?shù)模鹤鳛?#8220;教學工作應(yīng)當以學生為本，以學生的發(fā)展為本”這一立場的具體體現(xiàn)，有學者在一篇題為《新課程教師怎樣關(guān)注學生》一文中[10]主張：教師在教學工作中應(yīng)當“關(guān)注學生表現(xiàn)，欣賞學生的想法，重視學生的問題，接納學生的意見，寬容學生的錯誤，滿足學生的需要”；上述的主張當然是完全合理的，但是，由文中所給出的各個實例可以看出，任課教師在此所關(guān)注的事實上主要是少數(shù)幾個較為“調(diào)皮”（但思維又較為敏捷的）的學生，即如何才能保持這些學生的學習積極性，而不要輕易挫傷他們的自尊心與創(chuàng)新意識，如教師把“最具分量的幸運星”獎給了說出“8是16的兒子”的學生，盡管后者并不能被看成一個嚴格的數(shù)學表述；以及因?qū)W生指出“被減數(shù)與減數(shù)完全相同的時候，可以交換它們的位置”而承認自己先前關(guān)于“被減數(shù)與減數(shù)的位置絕對不可交換”這一斷言是錯誤的；等等。因為，即使我們暫且不去考慮這些做法是否真的有益于上述目標的實現(xiàn)，在此顯然也應(yīng)認真思考這樣一個問題：這些做法對于班上的大多數(shù)學生產(chǎn)生了什么樣的影響？由于大班教學正是我國數(shù)學教學的基本事實，而我們的學生又不能說在是非問題上已經(jīng)具備了很強的判斷能力，因此，不管我們的出發(fā)點是什么，教師在課堂上都不應(yīng)成為少數(shù)學生的“尾巴”，也即只是為“迎合”少數(shù)學生的“表現(xiàn)欲望”或什么別的“需要”而忽視了因此而對大多數(shù)學生所可能造成的負面影響。 三、學生主動探究與教師的指導作用 就學生主動探索這一新的教學方法的應(yīng)用而言，筆者以為，這無疑應(yīng)當成為我們在這一方面的基本立場：我們應(yīng)當積極提倡學生的主動探究，但也應(yīng)當明確地肯定教師在這一過程中應(yīng)發(fā)揮重要的指導作用。 例如，在筆者看來，我們就應(yīng)從這樣的角度去理解常州的同行們在這一方面所得出的如下經(jīng)驗：“‘自主探索’也不是‘自由探索’，漫無邊際和毫無目標的胡思亂想，不僅毫無意義，而且誤導學生對科學探索的‘嚴謹性’。”另外，在這一“總結(jié)性材料”中所引用的一個學生的以下體會則可以說十分清楚地表明了上述的基本立場事實上也就可以被看成學生的實際要求：“過去，當我遇到一個問題，還沒有來得及思考，老師就開始講解了，我有一種被拖著走的感覺……現(xiàn)在，教師給了我們較充裕的思考和活動時間。但是，當我們經(jīng)過思考和討論還無法解決問題時，是多么渴望老師講解！”[11] 那么，教師究竟應(yīng)當如何去發(fā)揮所說的指導作用呢？什么又是教師發(fā)揮這種作用的最佳形式與恰當時機呢？ 應(yīng)當指明的是，國外的相關(guān)實踐在這一方面為我們提供了不少具體經(jīng)驗。例如，就教師在組織全班討論時應(yīng)當如何很好地發(fā)揮引導者的作用而言，美國著名數(shù)學教育家思尼克（L.Resnick）就曾指出：“重復(fù)學生的語言，再一次確認學生的意思，是教師控制教室對話的兩種最明顯的策略，這兩種策略可以讓學生的發(fā)言，從個體自我意思的表達，轉(zhuǎn)化為全班可以共同溝通的語言。”[12]另外，臺灣的鄔瑞香老師也通過自己的教學實踐總結(jié)出了以下三種方法：第一，對于教室運作有用的信息應(yīng)予以增強；第二，干擾或暫不能處理的信息則予以忽略或淡化處理；第三，教師應(yīng)縮小自己（的權(quán)威），建立學生的自信心。[13] 另外，還應(yīng)強調(diào)的是，所謂教師的指導作用也不應(yīng)被理解成教師直接給出解題或解題方法；恰恰相反，更為重要的是如何去提出啟發(fā)性的問題以及提供適當?shù)陌咐?/p> 例如，這就正如美國學者巴拉布與達菲所指出的，“教師的工作是通過向?qū)W生問他們應(yīng)當自己問自己的問題來對學習和問題解決進行指導。這是參與性的，不是指示性的；其基礎(chǔ)不是要尋找正確答案，而是針對專業(yè)的問題解決者當時會向自己提出的那些問題。”[14] 事實上，課堂提問正是我國廣大數(shù)學教師十分善于應(yīng)用的一種教學方式。例如，在八年級的一堂幾何課中，教師共出了105個問題，其數(shù)量之多甚至連任課教師自己也不敢相信。[15]但是，這又正是國際上的一個發(fā)展趨勢，即我們不應(yīng)唯一注意提問的數(shù)量，而應(yīng)更加注意提問的質(zhì)量，特別是，我們應(yīng)努力減少那種純粹回憶的問題或不需任何思考就可回答的“簡答題”，而應(yīng)在所說的“問題的啟發(fā)性”上狠下工夫。 再例如，美國著名學者喬納森在《重溫活動理論：作為設(shè)計以學生為中心的學習環(huán)境的框架》一文中也曾明確指出，“當要求學習者……解決問題時，必須通過提供相關(guān)案例以支撐這些經(jīng)驗……相關(guān)案例通過向?qū)W習者提供他們不具備的經(jīng)驗的表征，來支持意義的形成。……通過在學習環(huán)境中展示相關(guān)案例，……向?qū)W習者提供了一系列的經(jīng)驗和他們可能已經(jīng)建構(gòu)的與這些經(jīng)驗有關(guān)的知識，以便與當前的問題進行對比。……相關(guān)案例同時也通過向?qū)W習者提供所探討的問題的多種觀點和方法，幫助他們表征學習環(huán)境中的復(fù)雜性”[16]。 當然，又如人們所已熟悉的，在數(shù)學教學中我們不僅應(yīng)當清楚地看到“正例（范例）”的作用，而且也應(yīng)明確肯定“反例”的作用，特別是，后者能促使學生產(chǎn)生一定的“觀念沖突”，從而也就可以自覺地去糾正先前的錯誤或不恰當認識。 最后，就當前而言，我們又應(yīng)特別強調(diào)如下幾點。 第一，在現(xiàn)今經(jīng)常可以聽到對于學生主動探究的片面強調(diào)，后者被說成是建構(gòu)主義學習觀的一個直接結(jié)論。如“記憶層次的學習反映了行為主義的學習觀，理解層次的學習是認知心理流派的學習觀，探索層次的學習反映了建構(gòu)主義的學習觀”。[17] 盡管我們應(yīng)當充分肯定建構(gòu)主義對于改進教學工作的積極意義，但是，筆者以為，以下的說法卻不能不說是過于簡單化了，而這事實上也已經(jīng)成為國際教育界的一個共識，正如布蘭思福特等人所明確指出的：“有關(guān)求知‘建構(gòu)主義’理論的一個通常的誤解是，教師不應(yīng)該直接告訴學生任何事情，相反，應(yīng)該讓學生自己建構(gòu)知識。”[18] 更為一般地說，筆者以為，我們事實上不應(yīng)對各種具體的教學方法采取簡單“對號入座”的方式予以“定性”，更不應(yīng)以“新、舊”去區(qū)分教學方法的“好、壞”。另外，我們也不能因為研究的發(fā)展和深化而對行為主義等學習理論采取完全否定的態(tài)度，毋寧說，在此更為需要 的是觀念的必要互補與整合。[19] 其次，我們在此又應(yīng)該特別強調(diào)“優(yōu)化思想”的重要性，因為，后者事實上應(yīng)被看成教師指導工作的一個重要方面。例如，正是從這樣的角度去分析，筆者以為，以下的提法就不很恰當：“在提倡算法多樣化的同時，老師要不要提出一種最優(yōu)的解法，對這一問題課程標準研制組曾經(jīng)組織過一次討論，大家的意見是：所謂最優(yōu)解法，要和學生的個性結(jié)合起來，沒有適合全體學生的最優(yōu)方法。每個學生的學習方式、思維方式都是獨特的，我們要尊重學生自己的選擇，不能以一個學生或一批學生的思維為基準來規(guī)定全體學生必須掌握的所謂的最優(yōu)解法。”[20]與此相對照，以下論述則可說體現(xiàn)了認識上的重要進步：“學生提出各種方法后，作為教師，當然有責任推薦一種自己認為最好的方法。”[21] 當然，對于所說的“優(yōu)化”我們又不應(yīng)理解為強制的統(tǒng)一，恰恰相反，教師應(yīng)當充分尊重學生自己的選擇，也即應(yīng)當允許學生在方法的選擇上有一定的自主權(quán)，并應(yīng)看到方法論上的轉(zhuǎn)變應(yīng)是學生的一種自覺行為；但是，學生的個體差異不應(yīng)成為教師“無所作為”“放之任之”的理由，我們也不應(yīng)將學生的主動性與教師的指導作用絕對地對立起來，毋寧說，這正是教師的一個重要責任，即隨著時間的推進和學習的深入，教師應(yīng)從各種不同的角度或?qū)用娌粩鄬Ω鞣N相關(guān)的方法做出比較，從而有效地促進學生對于自己的方法作出積極反思與必要改進，并在方法論上達到更大的自覺性和先進性。 四、動手實踐與活動的“內(nèi)化” 這是關(guān)于“可能性”概念的一堂課。為了幫助學生很好地掌握相關(guān)概念，在通過與“必然性”的對照引出了“可能性”的概念以后，教師又安排學生以小組（4～5人）為單位從事以下的“游戲”：每個小組都配置了一個口袋，其中分別裝有若干個粉色的球和黃色的球，教師要求學生每次摸出一個球，并對所得出的結(jié)果加以記錄，然后算出一共摸了多少次。特別是，其中有多少次是粉球，多少次是黃球。顯然，教師在此的主要目的是希望學生通過動手實踐就能更好地體會可能性的“大”和“小”；也正因為此，在小組實踐以后，教師又安排了全班性的匯報，教師以各個小組所得出的“數(shù)據(jù)”為基礎(chǔ)引出了這樣的結(jié)論：“口袋里的粉球越多，摸到粉球的可能性就越大；而如果口袋里的黃球越多，摸到黃球的可能性就越大。” 積極引導學生動手實踐也是新一輪數(shù)學課程改革所積極倡導的一種學習方式；然而，就實際的教學活動而言，筆者以為，關(guān)鍵的因素恰又在于我們不應(yīng)將所說的“動手實踐、主動探索”與一般的課堂游戲簡單地等同起來，而兩者的重要區(qū)分之一就在于后者有著明確的目的性。就這里的課例而言，這就是指，我們究竟為什么要從口袋中連續(xù)不斷地去“摸球”？不僅教師本人對此應(yīng)有清楚的認識，還應(yīng)促使學生在事先清楚地了解這種意圖，從而相應(yīng)的活動也才能夠真正成為他們的一種自覺行為。 也正是從后一角度去分析，筆者以為，我們在此應(yīng)認真思考“可能性”概念的教學是否應(yīng)當采取上述的活動形式。因為親手“摸”一次對于掌握“可能性”的概念未必有直接的促進作用；而且，在所說的課例中，由于學生并不知道其他小組的“工作背景”，或者說，由于各個小組的活動并不具有共同的關(guān)注點，因此，大多數(shù)學生對于其他組所得出的數(shù)據(jù)沒有表現(xiàn)出任何的興趣，恰恰相反，過多的“不相干”數(shù)據(jù)事實上只是沖淡了主要的教學目標。 綜上所述，這就是筆者在這一問題上的一個基本主張：與單純的追求形式相比，我們在組織數(shù)學活動時應(yīng)當更加注意以下的問題：究竟為什么要讓學生去從事相應(yīng)的活動？又如何才能使之真正成為學生的自覺行為？ 顯然，從這樣的角度去分析，以下的論述就是很有道理的：“我們不能僅僅從表面上看課堂是否活躍，我們不僅要關(guān)注每個學生是否在動口、動手，還要關(guān)注在合作小組內(nèi)，每個學生在說些什么，做些什么。”[22]當然，從更為深入的角度看，我們則又不僅應(yīng)當關(guān)注學生在做什么（what），而且還應(yīng)考慮為什么要這樣做（why），這樣做了又究竟產(chǎn)生了什么樣的效果（how）。 例如，正是基于后一方面的考慮，筆者以為，以下的教學模式就是不應(yīng)提倡的：“在美國的數(shù)學課堂上我們看到了學生與教師的互動，但卻看不到數(shù)學。”[23]進而，如果說上述的結(jié)論是國際上的相關(guān)實踐從反面為我們提供的一種“教訓”，那么，以下關(guān)于“結(jié)構(gòu)性實物操作”的分析則從正面為我們搞好“活動教學”提供了重要啟示。 具體地說，作為動手實踐的一種具體形式，各種教學用具在數(shù)學教學特別是低年級的數(shù)學教學中得到了廣泛應(yīng)用，因為通過教具的實際操作學生就可獲得必要的經(jīng)驗，從而也就可更好地理解相關(guān)的數(shù)學概念。然而，也正是從后一角度去分析，我們又應(yīng)十分注意教學用具的適當性，因為，只有當前者的明顯特征與我們所希望建立的數(shù)學關(guān)系較為一致時（這就是所謂的“結(jié)構(gòu)性實物操作”），所說的實物操作才能產(chǎn)生較好的效果。 例如，為了幫助學生較好地掌握十進位制記數(shù)系統(tǒng)，人們常常使用十進制計數(shù)塊（10base blocks）或有色的籌碼。但是，由于在后一種情況下位值與籌碼顏色之間的關(guān)系是隨意指定的（如用黃色表示單位值1，用紅色代表10，用綠色代表100等），籌碼本身就不能提供關(guān)于它的值的任何暗示；與此相對照，十進制數(shù)塊的制作則明顯地提示出大一點的塊是較小的塊的十倍，從而，后者就更有利于學生建立起對于位值原理的正確認識。 最后，如常州的同行們所指出的，我們在此應(yīng)十分注意操作活動的適當?shù)?#8220;度”以及“活動的必要內(nèi)化”，這就是說，“操作活動要適量、適度。所謂適量，就是不要動輒就操作，操作也不是多多益善。適度是指當學生的認識積累到一定程度時，就應(yīng)該及時讓學生的形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化。”[24] 為了清楚地說明問題，以下再聯(lián)系代數(shù)思維的基本形式對所說的“活動的內(nèi)化”做出進一步的分析。 具體地說，這正是數(shù)學思維現(xiàn)代研究的一個重要成果，即指明了“凝聚”、也即由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了數(shù)學思維特別是代數(shù)（包括算術(shù)）思維的一個基本形式。這就是說，有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終則又轉(zhuǎn)化成了一個對象──對此我們不僅可以研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對象施行某些新的運作（對于所說的“運作”應(yīng)作廣義理解，即未必是指具體的運算，而也可以包括任何一種數(shù)學運演，甚至不一定要有明確的算法）。[25] 例如，加減等運算在最初都是作為一種過程得到引進的，也即代表了這樣的一個“輸入—輸出”過程：由兩個加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）的值我們就可求得相應(yīng)的和（差）；然而，隨著學習的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數(shù)學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，在此事實上就經(jīng)歷了一個“凝聚”的過程，也即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數(shù)學對象。 但是，這里所說的由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)變究竟是如何實現(xiàn)的呢？或者說，究竟什么是與“凝聚”這一思維形式直接相關(guān)的思維過程呢？作為一種可能的解釋，著名以色列數(shù)學教育家斯法德（A.Sfard）提出了如下的“三階段說”，即認為所說的思維過程包括了這樣三個階段：[26]第一，內(nèi)化；第二，壓縮；第三，客體化。其中，“內(nèi)化”和“壓縮”可視為必要的準備：前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，這也就是說，我們在此已不再是由前一個步驟依次實際地去啟動上一個步驟，而是在頭腦中建立起相應(yīng)過程的整體性心理表征；后者則是指相應(yīng)的過程被壓縮成了一個更小的單元，從而我們就可從整體上對所說的過程作出描述或進行反思──我們在此不僅不需要實際地去實施相關(guān)的運作，還可從更高的抽象水平去對整個過程的性質(zhì)作出分析，如我們可以僅僅考慮整個運作的效用，而不必具體地去涉及相應(yīng)的運算過程，如7～2究竟是由2往前數(shù)還是由7向后數(shù)。最后，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質(zhì)的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現(xiàn)在變成了一個靜止的對象。 顯然，就我們目前的論題而言，以上的研究就更為清楚地表明了這樣一點：如果我們始終停留于實際操作的層面，而未能很好地實現(xiàn)活動的“內(nèi)化”，包括思維中的必要重構(gòu)，則就根本不可能發(fā)展起任何真正的數(shù)學思維。[27] 特殊地，由以上的分析我們顯然也可得出這樣的結(jié)論：我們不僅應(yīng)當讓學生看一看、摸一摸、做一做，而且，隨著學生年齡的增大，我們也應(yīng)讓他們算一算、畫一畫（指幾何圖形），另外，更為重要的是，我們又應(yīng)十分注意引導學生去想一想！ 五、理論與教學實踐 上面我們分別對幾種具體的教學方法進行了分析。作為全文的結(jié)束，以下再從一般角度對教學方法改革的問題做出進一步的分析。 具體地說，作為數(shù)學課程改革的重要一環(huán)，有不少學者都曾突出地強調(diào)了數(shù)學教學方法改革的必要性和重要性。例如，“‘導入—講授—鞏固—作業(yè)—小結(jié)’這種以教師為中心的五環(huán)節(jié)教學法，歷來把學生封閉在教師劃定的圈子里。那么我們是否可以‘開放’一些，給學生更多的主動思考的空間？‘創(chuàng)設(shè)情境—活動嘗試—師生探究—鞏固反思—作業(yè)質(zhì)疑’這樣的以學生為主體的教學模式能否成為常規(guī)？”[28]又如，“與現(xiàn)行教材中主要采取的‘定義、公理—定理、公式—例題—習題’的形式不同，《標準》提倡以‘問題情境—建立模型？—解釋、應(yīng)用與拓展（反思）’的基本模式展開內(nèi)容”。[29] 就對于新的教學方法的積極倡導而言，以上的論述是十分正確的；但是，筆者以為，數(shù)學教學方法的變革不應(yīng)被理解成教學模式的簡單取代；毋寧說，我們在此應(yīng)當采取更為開放的態(tài)度，這也就是說，我們既應(yīng)積極地去引進各種新的教學方法，但同時則又應(yīng)當防止各種簡單化的理解與絕對化的主張，特別是，不應(yīng)將“新、舊”看成區(qū)分教學方法“好、壞”的主要標準，并因此而對某些教學方法采取絕對肯定或絕對否定的態(tài)度，恰恰相反，我們應(yīng)當更為明確地去提倡教學方法的多樣化，并通過積極的教學實踐深入地去認識各種方法的優(yōu)點與局限性，從而就能依據(jù)特定的教學內(nèi)容、對象、環(huán)境（以及教師本人的個性特征）創(chuàng)造性地加以應(yīng)用。 以下再從理論與教學實踐的關(guān)系這一角度對上述論點做進一步的說明。 具體地說，這正是數(shù)學教育（乃至一般教育）國際進展的一項重要內(nèi)容，即更為深入地認識到了在理論與教學實踐之間所存在的辯證關(guān)系。 第一，與片面強調(diào)理論的指導作用相比，現(xiàn)今人們普遍地認識到了在理論與教學實踐這兩者之間應(yīng)是一種互動的關(guān)系。從而，任何一種“居高臨下、指手畫腳”的態(tài)度，如過分強調(diào)“新課程概念”的灌輸與輔導，就都是不恰當?shù)?；恰恰相反，在此最為需要的是各方面的積極互動，包括必要的批評與分析，特別是，任何一次教育改革運動，如果沒有廣大教師的積極參與，就都不可能獲得成功。 第二，就當前而言，我們應(yīng)大力提倡理論的多元化。例如，這就正如威爾遜和邁耶斯在《理論與實踐境脈中的情境認知》一文中所指出的，“設(shè)計者和參與者在思考一個問題或決定一個行動計劃時，可以在頭腦中有一個或多個理論”。應(yīng)當強調(diào)的是，所說的“多元化”事實上就可以被看成教學活動“情境相關(guān)性”的一個直接結(jié)論，這就是說，“情景中的需要高于規(guī)則、模式甚至標準價值觀的規(guī)定”。[30] 顯然，以色列學者斯法德的以下論述就可以被看成更為清楚地表明了保持頭腦開放性的重要性：“當一個理論轉(zhuǎn)換成教學上的規(guī)定，唯我獨尊就會成為成功的最大敵人。教育實踐有一個過分的偏好，希望得到極端的、普適的秘訣。建構(gòu)主義的、社會互動論的和情境論的時髦組合……經(jīng)常被轉(zhuǎn)換成對‘說教式教學’的完全禁止，成為一個全面采用合作學習的指令，認為所有的不是基于問題的、不在真實生活情境脈絡(luò)中的教學都是不正確的。……理論上的唯我獨尊和對教學的簡單思維，肯定會把哪怕是最好的教育理念搞遭。”與此相對照，斯法德提出，“當兩個隱喻相互競爭并不斷相映證可能的缺陷，這樣就更有可能為學習者和教師提供更自由的和堅實的效果。”[31]從而，這也就更為清楚地表明了提倡理論多元化的積極意義。 第三，與對于權(quán)威或種種“時髦”理論的盲目信任與追隨相比，筆者以為，我們在此又應(yīng)特別強調(diào)思維的批判性，特別是，這更應(yīng)被看成新一代小學數(shù)學名師所應(yīng)具有的一項基本素質(zhì)，即不應(yīng)成為盲目追隨潮流的“風派”或“明星”，而應(yīng)成為具有獨立思考與批判能力的思想者與實踐者。 參考文獻： ［1］鄭毓信：《文化視角下的中國數(shù)學教育》，《課程·教材·教法》2002年第10期。 ［2］［7］《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》，北京師范大學出版社2002年版，第112、2頁。 ［3］［6］［27］鄭毓信：《簡論數(shù)學課程改革的活動化、個性化、生活化取向》，《教育研究》2003年第6期。 ［4］《作為教育任務(wù)的數(shù)學》，上海教育出版社1995年版，第123～124頁。 ［5］［11］鄭毓信：《試析新一輪課程改革中小學數(shù)學課堂教學》，《課程·教材·教法》2003年第4期。 ［8］［24］呂聽聽、諸建剛：《探課改之路，索課改真諦──常州市數(shù)學課改工作回顧與思考》，《中學數(shù)學教育》2003年第3期。 ［9］［13］轉(zhuǎn)引自林文生、鄔瑞香：《數(shù)學教育的藝術(shù)與實務(wù)》，心理出版社（臺灣），1999年版。 ［10］易虹輝：《新課程教師怎樣關(guān)注學生》，《小學青年教師》2003年第4期。 ［12］Inventing Arithmetic Making Childern Intuition Work in School，Basic and Applied Pers pectives on Learning Cognition and Development，ed.by C.Nelson，Erlbau. ［14］［16］［30］戴維、喬納森主編：《學習環(huán)境的理論基礎(chǔ)》，華東師范大學出版社2002年版。 ［15］顧泠沅等：《尋找中間地帶》，上海教育出版社2004年版，第1.1節(jié)。 ［17］孔企平：《新教材新在哪里？》，《小學青年教師》2002年第5期。 ［18］《人是如何學習的》，華東師范大學出版社，2002年版，第19頁。 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