在上一篇【解題策略】最值系列之輔助圓（一）我們了解了根據圓的定義來構造輔助圓，本文介紹另外兩種方式：
1、定邊對直角；
2、定邊對定角．
01
定邊對直角
【知識回顧】直徑所對的圓周角是直角．
【構造思路】一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。?/p>
【圖形釋義】
若AB是一條定線段，且∠APB=90°，則P點軌跡是以AB為直徑的圓．
【解題關鍵】挖掘直角，確定定邊．
例題解析
已知正方形ABCD邊長為2，E、F分別是BC、CD上的動點，且滿足BE=CF，連接AE、BF，交點為P點，則PC的最小值為_________．
【分析】由于E、F是動點，故P點也是動點，因而存在PC最小值這樣的問題，那P點軌跡如何確定？
考慮BE=CF，易證AE⊥BF，即在運動過程中，∠APB=90°，故P點軌跡是以AB為直徑的圓．
連接OC，與圓的交點即為P點，通過勾股定理可求OC，再減去OP即可求出PC長度．
動點軌跡通?！胺侵奔磮A”，分析動點形成原理，尋找與動點相關定邊與定角．
2013湖北武漢
如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是________．
【分析】根據條件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易證AG⊥BE，即∠AHB=90°，
所以H點軌跡是以AB為直徑的圓弧
當D、H、O共線時，DH取到最小值，勾股定理先求OD，再減去OH即可．
2016安徽中考
如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值是______．
【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，
∴P點軌跡是以AB為直徑的圓?。?/p>
當O、P、C共線時，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再減去OP即可．
確定定邊
如圖， AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一個動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE．在點D移動的過程中，BE的最小值為_______．
【分析】E是動點，E點由點C向AD作垂線得來，∠AEC=90°，且AC是一條定線段，所以E點軌跡是以AC為直徑的圓弧．
當B、E、M共線時，BE取到最小值．連接BC，勾股定理求BM，再減去EM即可．
挖掘直角，確定定邊
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點D是AC上的一個動點，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點E，則AE的最小值為________．
【分析】考慮到E點有連接BD與圓O相交所得，所以可連接CE，則CE⊥BD，考慮到CD邊是變化的，可取BC邊為定邊．
取BC中點M，E點軌跡是以M為圓心，MB為半徑作圓?。?/p>
連接AM，與圓M的交點為所求E點，此時AE值最小，勾股定理先求AM，再減去EM即可．
2019蘇州園區(qū)一模
如圖，正方形ABCD的邊長為4，動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點B、D移動，當點E到達點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為點G，連接AG，則AG長的最小值為______．
【分析】首先考慮整個問題中的不變量，僅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所對的BE邊是不確定的．
重點放在AE=CF，可得EF必過正方形中心O點，連接BD，與EF交點即為O點．
∠BGO為直角且BO邊為定直線，故G點軌跡是以BO為直徑的圓．
記BO中點為M點，當A、G、M共線時，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再減去GM即可．
輔助圓+將軍飲馬
如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是AD邊上一動點，連接BE，過點A作AF⊥BE于點F，點P是AD邊上另一動點，則PC+PF的最小值為________．
【分析】∠AFB=90°且AB是定線段，故F點軌跡是以AB中點O為圓心、AB為直徑的圓．
考慮PC+PF是折線段，作點C關于AD的對稱點C’，化PC+PF為PC’+PF，當C’、P、F、O共線時，取到最小值．
輔助圓+相切
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一動點，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于點F，則CF的最大值是_________．
【分析】∠AEC=90°且AC為定值，故E點軌跡是以AC為直徑的圓?。?/p>
考慮EF⊥AB，且E點在圓上，故當EF與圓相切的時候，CF取到最大值．
連接OF，易證△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．
02
定邊對定角
在“定邊對直角”問題中，依據“直徑所對的圓周角是直角”，關鍵性在于尋找定邊、直角，而根據圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相．定邊必不可少，而直角則可一般為定角．例如，AB為定值，∠P為定角，則A點軌跡是一個圓．
當然，∠P度數也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分別作對應的軌跡圓．
若∠P=30°，以AB為邊，同側構造等邊三角形AOB，O即為圓心．
若∠P=45°，以AB為斜邊，同側構造等腰直角三角形AOB，O即為圓心．
若∠P=60°，以AB為底，同側構造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心．
若∠P=120°，以AB為底，異側為邊構造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心．
當定邊所對定角為β的時候，以定邊為弦，2β為圓心角構造圓．
例題解析
如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個動點，且BE=CF，連接AE、BF，交點為P點，則CP的最小值為________．
【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所對的邊AF是變化的．
所以考慮∠APB=120°，其對邊AB是定值．
所以如圖所示，P點軌跡是以點O為圓心的圓?。嬙霴A=OB且∠AOB=120°）
當O、P、C共線時，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再減去OP即可．
2017山東威海
如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為_________．
【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例題．
2019江蘇南京
在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則BC的長的取值范圍是_______．
【分析】先作圖，如下
條件不多，但已經很明顯，AB是定值，∠C=60°，即定邊對定角．故點C的軌跡是以點O為圓心的圓?。ㄗ鰽O=BO且∠AOB=120°）
題意要求∠A>∠B，即BC>AC，故點C的軌跡如下圖．
當BC為直徑時，BC取到最大值，
考慮∠A為△ABC中最大角，故BC為最長邊，BC>AB=4．無最小值．
2019湖北武漢
如圖，AB是圓O的直徑，M、N是弧AB（異于A、B）上兩點，C是弧MN上一動點，∠ACB的角平分線交圓O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E，當點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是_______．
【分析】分別考慮C、E兩點的軌跡，C點軌跡上是弧MCN，其對應圓心角為∠MON，半徑為OM（或ON）．
再考慮E點軌跡，考慮到CE、AE都是角平分線，所以連接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．
考慮到∠AEB是定角，其對邊AB是定線段，根據定邊對定角，所以E點軌跡是個圓，考慮到∠ADB=90°，所以D點即為圓心，DA為半徑．
E點軌跡所對的圓心角為∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E兩點軌跡圓半徑之比為1：根號2，圓心角之比為2:1，所以弧長比值為根號2．
