正文如下：
最值問(wèn)題的必要條件是至少有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)槭莿?dòng)態(tài)問(wèn)題，所以才會(huì)有最值．在將軍飲馬問(wèn)題中，折點(diǎn)P就是那個(gè)必須存在的動(dòng)點(diǎn)．并且它的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線，解題策略就是作端點(diǎn)關(guān)于折點(diǎn)所在直線的對(duì)稱即可．
當(dāng)然，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是可以變的，比如P點(diǎn)軌跡也可以是一個(gè)圓，就有了第二類最值問(wèn)題——輔助圓．
在這類題目中，題目很少直接告訴我們動(dòng)點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，也很少把這個(gè)圓畫(huà)出來(lái)，因此，結(jié)合題目給的條件，分析出動(dòng)點(diǎn)的軌跡圖形，將是我們面臨的最大的問(wèn)題．
若已經(jīng)確定了動(dòng)點(diǎn)的軌跡圓，接下來(lái)求最最值的問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單了，比如：如下圖，A為圓外一點(diǎn)，在圓上找一點(diǎn)P使得PA最?。?/p>
已知圓軌跡類
【2017四川德陽(yáng)】
如圖，已知圓C的半徑為3，圓外一定點(diǎn)O滿足OC=5，點(diǎn)P為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l上有兩點(diǎn)A、B，且OA=OB，∠APB=90°，直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則AB的最小值為_(kāi)_______．
【分析】連接OP，根據(jù)△APB為直角三角形且O是斜邊AB中點(diǎn)，可得OP是AB的一半，若AB最小，則OP最小即可．
連接OC，與圓C交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)OP最小，AB也取到最小值．
由定義構(gòu)造輔助圓
圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合．
構(gòu)造思路：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是以定點(diǎn)為圓心、定值為半徑的圓或圓?。?/p>
【2014成都中考】
如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'C，則A'C長(zhǎng)度的最小值是________．
【分析】考慮△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1，所以A'軌跡是以M點(diǎn)為圓心，MA為半徑的圓?。?/p>
連接CM，與圓的交點(diǎn)即為所求的A'，此時(shí)A'C的值最小．
構(gòu)造直角△MHC，勾股定理求CM，再減去A'M即可．
【2016淮安中考】
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是_______．
【分析】考慮到將△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P點(diǎn)軌跡是以F點(diǎn)為圓心，F(xiàn)C為半徑的圓?。?/p>
過(guò)F點(diǎn)作FH⊥AB，與圓的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P到AB的距離最小．由相似先求FH，再減去FP，即可得到PH．
【2019揚(yáng)州中考】
如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B'．當(dāng)PB=6時(shí)，在直線l變化過(guò)程中，求△ACB'面積的最大值．
【分析】考慮l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線，且△ABC沿直線l折疊，所以B'軌跡是以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑的圓?。?/p>
考慮△ACB'面積最大，因?yàn)锳C是定值，只需B'到AC距離最大即可．過(guò)P作作PH⊥AC交AC于H點(diǎn)，與圓的交點(diǎn)即為所求B'點(diǎn)，先求HB'，再求面積．
【2018相城區(qū)一模】
如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF+PD的最小值是_________．
【分析】F點(diǎn)軌跡是以E點(diǎn)為圓心，EA為半徑的圓，作點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)D'，連接PD'，PF+PD化為PF+PD'．
連接ED'，與圓的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)，與BC交點(diǎn)為所求P點(diǎn)，勾股定理先求ED',再減去EF即可．
上面我們了解了根據(jù)圓的定義來(lái)構(gòu)造輔助圓，本文介紹另外兩種方式：
1、定邊對(duì)直角；
2、定邊對(duì)定角．
【知識(shí)回顧】直徑所對(duì)的圓周角是直角．
【構(gòu)造思路】一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。?/p>
【圖形釋義】
若AB是一條定線段，且∠APB=90°，則P點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓．
【解題關(guān)鍵】挖掘直角，確定定邊．
例題解析
已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，E、F分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE=CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為P點(diǎn)，則PC的最小值為_(kāi)________．
【分析】由于E、F是動(dòng)點(diǎn)，故P點(diǎn)也是動(dòng)點(diǎn)，因而存在PC最小值這樣的問(wèn)題，那P點(diǎn)軌跡如何確定？
考慮BE=CF，易證AE⊥BF，即在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠APB=90°，故P點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓．
連接OC，與圓的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，通過(guò)勾股定理可求OC，再減去OP即可求出PC長(zhǎng)度．
動(dòng)點(diǎn)軌跡通?！胺侵奔磮A”，分析動(dòng)點(diǎn)形成原理，尋找與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)定邊與定角．
2013湖北武漢
如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是________．
【分析】根據(jù)條件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易證AG⊥BE，即∠AHB=90°，
所以H點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓弧
當(dāng)D、H、O共線時(shí)，DH取到最小值，勾股定理先求OD，再減去OH即可．
2016安徽中考
如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值是______．
【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，
∴P點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓弧．
當(dāng)O、P、C共線時(shí)，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再減去OP即可．
確定定邊
如圖， AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的最小值為_(kāi)______．
【分析】E是動(dòng)點(diǎn)，E點(diǎn)由點(diǎn)C向AD作垂線得來(lái)，∠AEC=90°，且AC是一條定線段，所以E點(diǎn)軌跡是以AC為直徑的圓?。?/p>
當(dāng)B、E、M共線時(shí)，BE取到最小值．連接BC，勾股定理求BM，再減去EM即可．
挖掘直角，確定定邊
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點(diǎn)D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點(diǎn)E，則AE的最小值為_(kāi)_______．
【分析】考慮到E點(diǎn)有連接BD與圓O相交所得，所以可連接CE，則CE⊥BD，考慮到CD邊是變化的，可取BC邊為定邊．
取BC中點(diǎn)M，E點(diǎn)軌跡是以M為圓心，MB為半徑作圓弧．
連接AM，與圓M的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，此時(shí)AE值最小，勾股定理先求AM，再減去EM即可．
2019蘇州園區(qū)一模
如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點(diǎn)B、D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，則AG長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．
【分析】首先考慮整個(gè)問(wèn)題中的不變量，僅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所對(duì)的BE邊是不確定的．
重點(diǎn)放在AE=CF，可得EF必過(guò)正方形中心O點(diǎn)，連接BD，與EF交點(diǎn)即為O點(diǎn)．
∠BGO為直角且BO邊為定直線，故G點(diǎn)軌跡是以BO為直徑的圓．
記BO中點(diǎn)為M點(diǎn)，當(dāng)A、G、M共線時(shí)，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再減去GM即可．
輔助圓+將軍飲馬
如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PF的最小值為_(kāi)_______．
【分析】∠AFB=90°且AB是定線段，故F點(diǎn)軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心、AB為直徑的圓．
考慮PC+PF是折線段，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C’，化PC+PF為PC’+PF，當(dāng)C’、P、F、O共線時(shí)，取到最小值．
輔助圓+相切
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，則CF的最大值是_________．
【分析】∠AEC=90°且AC為定值，故E點(diǎn)軌跡是以AC為直徑的圓?。?/p>
考慮EF⊥AB，且E點(diǎn)在圓上，故當(dāng)EF與圓相切的時(shí)候，CF取到最大值．
連接OF，易證△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．
在“定邊對(duì)直角”問(wèn)題中，依據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，關(guān)鍵性在于尋找定邊、直角，而根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相．定邊必不可少，而直角則可一般為定角．例如，AB為定值，∠P為定角，則A點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓．
當(dāng)然，∠P度數(shù)也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分別作對(duì)應(yīng)的軌跡圓．
若∠P=30°，以AB為邊，同側(cè)構(gòu)造等邊三角形AOB，O即為圓心．
若∠P=45°，以AB為斜邊，同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AOB，O即為圓心．
若∠P=60°，以AB為底，同側(cè)構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心．
若∠P=120°，以AB為底，異側(cè)為邊構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心．
當(dāng)定邊所對(duì)定角為β的時(shí)候，以定邊為弦，2β為圓心角構(gòu)造圓．
例題解析
如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，E、F分別是BC、CA上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為P點(diǎn)，則CP的最小值為_(kāi)_______．
【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所對(duì)的邊AF是變化的．
所以考慮∠APB=120°，其對(duì)邊AB是定值．
所以如圖所示，P點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)O為圓心的圓?。?gòu)造OA=OB且∠AOB=120°）
當(dāng)O、P、C共線時(shí)，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再減去OP即可．
2017山東威海
如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．
【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例題．
2019江蘇南京
在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則BC的長(zhǎng)的取值范圍是_______．
【分析】先作圖，如下
條件不多，但已經(jīng)很明顯，AB是定值，∠C=60°，即定邊對(duì)定角．故點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)O為圓心的圓?。ㄗ鰽O=BO且∠AOB=120°）
題意要求∠A>∠B，即BC>AC，故點(diǎn)C的軌跡如下圖．
當(dāng)BC為直徑時(shí)，BC取到最大值，
考慮∠A為△ABC中最大角，故BC為最長(zhǎng)邊，BC>AB=4．無(wú)最小值．
2019湖北武漢
如圖，AB是圓O的直徑，M、N是弧AB（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是弧MN上一動(dòng)點(diǎn)，∠ACB的角平分線交圓O于點(diǎn)D，∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是_______．
【分析】分別考慮C、E兩點(diǎn)的軌跡，C點(diǎn)軌跡上是弧MCN，其對(duì)應(yīng)圓心角為∠MON，半徑為OM（或ON）．
再考慮E點(diǎn)軌跡，考慮到CE、AE都是角平分線，所以連接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．
考慮到∠AEB是定角，其對(duì)邊AB是定線段，根據(jù)定邊對(duì)定角，所以E點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，考慮到∠ADB=90°，所以D點(diǎn)即為圓心，DA為半徑．
E點(diǎn)軌跡所對(duì)的圓心角為∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E兩點(diǎn)軌跡圓半徑之比為1：根號(hào)2，圓心角之比為2:1，所以弧長(zhǎng)比值為根號(hào)2．
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