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 “直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是直角三角形的重要性質(zhì)之一，在解決問題時(shí)，如能善于把握?qǐng)D形特征，恰當(dāng)利用或構(gòu)造“直角三角形斜邊上的中線”，往往能迅速找到解題思路。這期我們就略舉兩例。

例1 △ABC與△ADE都是直角三角形，且∠ACB=∠AED=90°，如圖1，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接EF、CF。

求證：EF=CF

思路分析：

如圖2，延長BC，交EF的延長線于G，在Rt△ECG中，只要證明點(diǎn)F是斜邊EG的中點(diǎn)，則有EF=CF。

根據(jù)已知條件，證明△FED≌△FGB即可得FE=FG。

以下是簡要過程，僅供參考。

證明：∵∠ACB=∠AED=90°

∴DE⊥AC  BC⊥AC

∴DE∥BC

∴∠EDF=∠GBF  ∠FED=∠FGB

又∵F是BD的中點(diǎn)

∴FB=FD

∴△FED≌△FGB

 ∴FE=FG

∴點(diǎn)F是EG的中點(diǎn)

∴∠ECG=180°-∠ACB=90°

∴在Rt△ECG中  CF是斜邊的中線

∴EF=CF

練習(xí)1  如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E、F分別是對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)。請(qǐng)猜想并證明EF與BD之間有怎樣的位置關(guān)系。

答案：EF垂直平分BD

提示：連接EB、ED

練習(xí)2  在△ABC中，BD、CE是高，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)。

（1）若FG⊥DE于G，求證：G是DE的中點(diǎn)

（2）若G是DE的中點(diǎn)，求證：FG⊥DE

思路提示：連接FE、FD，△FED是等腰三角形

注：如圖5、圖6，練習(xí)1、練2也可用“四點(diǎn)共圓”及垂徑定理證明，如果感興趣，不妨一試。

練習(xí)3  如圖7，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=CB，點(diǎn)D是斜邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，∠EDF=90°。

求證：BF²+CF²=EF²

思路提示：在Rt△BEF中，BF²+BE²=EF²，所以只需證明CF=BE即可。

連接BD，證△BDE≌△CDF。

例2  如圖8，在矩形ABCD中，延長CB到E，使CE=AC，連接AE，點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，連接BF、DF。

求證：BF⊥FD

思路分析：

如圖9，由BF是Rt△ABE斜邊上的中線得BF=AF，易證△AFD≌△BFC，可知∠1=∠2，故要證∠BFD=∠CFD+∠1=90°，只需證明∠CFD+∠2=90°即可。

證明：連接CF

∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)

∴BF是AE邊的中線

∴BF=AF

∴∠FBA=∠FAB

∵在矩形ABCD中  

AD=BC 且∠BAD=∠ABC=90°

∴∠FAB+∠BAD =∠FBA+∠ABC

∴∠FAD=∠FBC

∴△FAD≌△FBC

∴∠1=∠2

又∵CE=AC  點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)

∴在等腰△AEC中

由“三線合一”得CF⊥AE

∴∠CFD+∠2=90°

∴∠BFD=∠CFD+∠1=90°

∴BF⊥FD

練習(xí)4  如圖10，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AE=AD，連接BD、CE，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，連接AF 。

求證：AF⊥BD

思路提示：

如圖10，AF交BD于點(diǎn)G

∵AF是Rt△AEC斜邊的中線

∴AF=CF

∴∠2=∠FAC

再證△ADB≌△AEC得∠1=∠2

∴∠1=∠FAC

∵∠1+∠ADB=90°

∴∠FAC+∠ADB=90°

∴∠AGD=90°

∴AF⊥BD

練習(xí)5  如圖11，在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DF是AB的垂直平分線，交AB于E，連接FA、FB，且CD=AF。

求證：（1）四邊形FBDA是菱形；

（2）若四邊形FBDA是正方形，求∠C的度數(shù)。

思路提示：

（1）由斜邊中線和垂直平分線的性質(zhì)，證明四邊形FBDA四邊相等。

（2）∠C=45°

歸納：

（1）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，且斜邊的中線把直角三角形分成了兩個(gè)等腰三角形，在解題或證明過程中，請(qǐng)注意等腰三角形相關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用；

（2）在解題或證明過程中，根據(jù)圖形特征，要靈活運(yùn)用或構(gòu)造斜邊中線（構(gòu)造直角三角形或作斜邊中點(diǎn)）。

（3）如果題目中存在共斜邊的兩個(gè)直角三角形，九年級(jí)的同學(xué)可以嘗試用“四點(diǎn)共圓”的知識(shí)解決問題。

這期就到這里，朋友們，下期再見！