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試論數(shù)學的科學性及其特點與數(shù)學教學
人民教育出版社 俞求是
摘要：數(shù)學科學有3個特點：抽象性、邏輯嚴密性和應用廣泛性。作為一門科學的教學，數(shù)學教學應重視數(shù)學課程的系統(tǒng)性，應重視基本概念尤其是某些重要的基本概念的教學。量化思想是基本而重要的數(shù)學思想，數(shù)學教育中，應教學生學習抽象的方法，把發(fā)展學生的抽象思維能力作為目標；應培養(yǎng)學生嚴密的思維，要讓學生理解數(shù)學過程的同時，不能混淆教材編制與課堂教學之間的界線；使學生認識數(shù)學的應用價值，注重培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力。
關(guān)鍵詞：數(shù)學；科學；量化；抽象；嚴密；應用。
數(shù)學是什么，數(shù)學的研究對象是什么，數(shù)學有什么特點，對于這些問題，一直都有討論和研究，許多學者發(fā)表了論述和觀點，并成為數(shù)學教育的熱門話題。確實，這些問題都既是重要的理論問題，也是重要的實踐問題，對于這些問題的不同回答，會對數(shù)學教育各個領域產(chǎn)生一定的影響，會影響編制怎樣的數(shù)學課程和教材，制訂怎樣的數(shù)學教學目標，提倡怎樣的數(shù)學教學方法和數(shù)學學習方法。本文對與此相關(guān)的問題作初步的探討。
一、數(shù)學的科學性與數(shù)學教學
1.1 數(shù)學的研究對象和科學性
數(shù)學的研究對象是什么？對這個問題，曾有各種不同的回答，也一直為我國數(shù)學教育界所重視，并加以討論研究。僅僅在莫里茲編撰的《數(shù)學家言行錄》中，就列舉了幾十種關(guān)于數(shù)學及數(shù)學本性的描述：有的認為數(shù)學就是研究數(shù)量之間種種的度量關(guān)系，是為了發(fā)現(xiàn)表示種種數(shù)學規(guī)律的方程式；有的認為數(shù)學僅是關(guān)于數(shù)量關(guān)系的科學；有的認為，混合數(shù)學要研究諸如天文學、光學和力學之中的空間關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，而不包含直接經(jīng)驗的幾何或代數(shù)等則稱為純數(shù)學，等等。在此，我們僅考察作為幾千年數(shù)學發(fā)展結(jié)晶的傳統(tǒng)中小學數(shù)學課程的主體和基本內(nèi)容來看數(shù)學的研究對象：算術(shù)——數(shù)學中最基礎、最初等的部分,它研究的對象是自然數(shù)以及自然數(shù)在加、減、乘、除、乘方、開方運算中的性質(zhì)、法則，在社會實踐中有極廣泛的應用；初等代數(shù)——主要包括有理數(shù)、實數(shù)及其運算，整式、分式和根式的運算和變形，解方程、方程組和不等式，以及指數(shù)、對數(shù)運算，排列組合、二項式定理等；初等幾何——研究直線、圓、平面等基本圖形的形狀、大小和相關(guān)位置關(guān)系；三角學——以三角形的邊角關(guān)系為基礎，研究幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系及其在測量方面的應用，并研究三角函數(shù)的性質(zhì)及其應用的數(shù)學分支，中學數(shù)學主要學習其中與平面三角形相聯(lián)系的部分，即平面三角學；解析幾何——借助于坐標系用代數(shù)方法來研究一些簡單幾何圖形，例如直線、二次曲線、平面和二次曲面等的一門學科，被分為平面解析幾何與空間解析幾何兩個部分，中學數(shù)學以平面解析幾何為主要內(nèi)容。微積分學——是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限等概念基礎上研究函數(shù)的微分、積分及有關(guān)概念和應用的數(shù)學分支；概率論——研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律；統(tǒng)計學——研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷和預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議。中小學數(shù)學課程雖然與現(xiàn)代數(shù)學科學前沿有很大的距離，但卻是現(xiàn)代數(shù)學科學的基礎。“數(shù)學研究的對象是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式。數(shù)與形，這兩個基本概念是整個數(shù)學的兩大柱石。整個數(shù)學就是圍繞著這兩個概念的提煉、演變與發(fā)展而發(fā)展的。數(shù)學在各個領域中千變?nèi)f化的應用也是通過這兩個概念而進行的。社會的不斷發(fā)展，生產(chǎn)的不斷提高，為數(shù)學提供了無窮源泉與新穎課題，促使數(shù)與形的概念不斷深化，由此推動了數(shù)學的不斷前進，在數(shù)學中形成了形形式式、多種多樣的分支學科。這不僅使數(shù)學這一學科日益壯大，蔚為大成，而且使數(shù)學的應用也越來越廣泛與深入了。”⑴這里，吳文俊院士論述了數(shù)學的基本對象，同時也分析了數(shù)學的發(fā)展，很重要的是指出應該從發(fā)展的觀點來認識數(shù)學的研究對象——數(shù)與形。
為什么說數(shù)學是一門科學？這就必須弄清科學的概念。科學概念有以下的幾層涵義：(1)科學是人類對客觀世界的認識，是反映客觀事實和規(guī)律的知識，它指出了自然界和社會現(xiàn)象間必然、本質(zhì)、穩(wěn)定和在一定條件下反復出現(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系，科學具有客觀真理性；(2)科學是反映客觀事實和規(guī)律的知識體系，知識單元的內(nèi)在邏輯特征和知識單元間的本質(zhì)聯(lián)系清楚了，建立起了一個完整的知識體系時才可以稱為科學，因而科學具有系統(tǒng)性。只是點點滴滴、互不聯(lián)系的知識還算不上科學；(3)科學是一項反映客觀事實和規(guī)律的知識體系相關(guān)活動的事業(yè)，在人類實踐活動中起著重大作用。數(shù)學就是一門科學。(1) 數(shù)學的概念、定理、公式、法則都源于客觀現(xiàn)實世界，正確反映了客觀世界在數(shù)與形方面的規(guī)律性，數(shù)學結(jié)論經(jīng)歷了千錘百煉，被證明是經(jīng)受了人類長期實踐檢驗的客觀真理；(2) 數(shù)學已經(jīng)建立了嚴密的科學體系，就整個數(shù)學學科而言，可以分為若干分支學科，數(shù)學理論的建立在邏輯上具有嚴密性，數(shù)學結(jié)論具有清楚性、確定性，不容半點疏忽馬虎；(3)數(shù)學理論在實踐活動中得到廣泛應用，并在實踐活動中不斷豐富、發(fā)展。
1．2 數(shù)學作為一門科學的教學
數(shù)學教學一個很重要的方面是應該強調(diào)數(shù)學教學是一門科學的教學。從這樣角度思考問題，作為一門科學的教學，就要求我們在數(shù)學教學中重視揭示數(shù)學與客觀現(xiàn)實的密切聯(lián)系,揭示數(shù)學結(jié)論的真理性和真實性，揭示數(shù)學理論是怎樣從現(xiàn)實世界中得到并不斷發(fā)展；作為一門科學的教學，數(shù)學教學就必須重視數(shù)學知識體系的系統(tǒng)性與邏輯性；作為一門科學的教學，就必須重視數(shù)學在實踐中巨大作用的教學，并重視數(shù)學探究活動過程的教學。下面著重就中學數(shù)學課程系統(tǒng)性問題作一探討。
我國中學數(shù)學教育一直比較重視數(shù)學課程的系統(tǒng)性，根據(jù)一些重要的數(shù)學教學調(diào)查和國際數(shù)學教育比較的結(jié)論，長期以來我國中小學生數(shù)學成績好的主要原因中首先就是我國中小學數(shù)學教學內(nèi)容的系統(tǒng)性較強⑵。怎樣使我國中學數(shù)學課程更加具有系統(tǒng)性，是我國中學數(shù)學教育應該研究的一個重要問題。數(shù)學各個分支學科之間有廣泛的聯(lián)系，并具有學科內(nèi)在統(tǒng)一性，但不可否認，數(shù)學不同分支具有各自不同的研究對象、各自的分支體系。高等學校數(shù)學系的數(shù)學專業(yè)課程總是按照學科分支課程的形式呈現(xiàn)。初等數(shù)學中不同學科分支也具有一定的系統(tǒng)性，我國數(shù)學教育實踐經(jīng)驗告訴我們，數(shù)學內(nèi)容以分科形式呈現(xiàn)能夠比較清楚地把蘊涵的思想方法表達出來，學生也容易比較系統(tǒng)、深刻地學到數(shù)學基礎知識基本技能和其中蘊含的思想方法，更好地加以掌握和運用?；仡櫸覈鴶?shù)學教育的歷史，為我國中學數(shù)學教育界稱道的一些中學數(shù)學教材也多釆取分科教學，并達到了較高的教學水平。良好的學科課程體系結(jié)構(gòu)是學生有良好認知結(jié)構(gòu)的基礎。目前，高中數(shù)學新課程的實施給我國的高中數(shù)學教學帶來了許多可喜的變化，高中數(shù)學課程大大拓寬了中學數(shù)學視野，教材內(nèi)容的廣度和深度都有了極大改觀，一些傳統(tǒng)內(nèi)容的處理讓人看到新的理念，高中數(shù)學課程釆用了模塊化的結(jié)構(gòu)設置，使教學更加具有靈活性。但另一方面，由于每個模塊課時的確定性，使教學內(nèi)容的選擇與安排受到模塊課時的限制，導致某些聯(lián)系很密切的教學內(nèi)容被安排到了不同的模塊，而同一模塊中教學內(nèi)容又未必聯(lián)系很密切，教學安排的邏輯脈絡不夠清楚，對于不同必修模塊的教學順序不作規(guī)定，就使實際教學產(chǎn)生一些困難，目前，對于這個問題老師們作了大量的研究，但仍沒有太好的辦法。根據(jù)教材試驗，教材的模塊化設計(尤其是必修模塊仍用模塊化設計的必要性問題)和系統(tǒng)性問題成為老師們研究最多、反映較多、意見也較多的一個問題，某些教學內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系的變化導致了學生相關(guān)數(shù)學能力的下降。例如，相當數(shù)量的老師認為立體幾何中點線面的空間基本關(guān)系應該先講，幾何體的體積、面積計算問題應該移到立體幾何的后部，有些老師對于立體幾何的有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的教學順序作了調(diào)整，老師們希望教材更加有系統(tǒng)性。
中學數(shù)學傳統(tǒng)教學內(nèi)容中如初等代數(shù)（含三角函數(shù)）、立體幾何、解析幾何和概率統(tǒng)計的基礎知識是高中學生應該掌握的數(shù)學基礎知識，這些內(nèi)容應該作為高中數(shù)學的必修內(nèi)容，按這些內(nèi)容本身的邏輯體系安排這些學科分支的教材內(nèi)容，并應考慮教學內(nèi)容之間的互相聯(lián)系，而必修內(nèi)容則不必再設置模塊，而是按照過去大綱教材一樣按學期確定教學內(nèi)容。在確定了必修內(nèi)容以后的其他內(nèi)容，如微積分的初步知識及目前的一些選修模塊的教學內(nèi)容，則可作為選修課程。這樣，既保證了課程的靈活性和選擇性，又兼顧了數(shù)學課程的必要的邏輯性和系統(tǒng)性，而教學內(nèi)容的學分可根據(jù)相應教學內(nèi)容的分量等因素加以確定。應該充分考慮數(shù)學教學內(nèi)容之間的內(nèi)在邏輯和聯(lián)系，構(gòu)建合理的知識體系，要充分考慮繼承經(jīng)過長時間教學試驗的、已經(jīng)比較成熟的體系結(jié)構(gòu)。目前高中數(shù)學新課程試驗中老師們在實際教學中對各部分內(nèi)容的教學順序作了許多研究，并作了部分調(diào)整(在一定程度上參考了傳統(tǒng)的教學內(nèi)容安排順序)。例如一些教學對比實驗發(fā)現(xiàn)，教學安排先講映射后講函數(shù)，學生對函數(shù)概念的理解要好一些，這說明概念的不同安排順序必然會對學生掌握有關(guān)概念產(chǎn)生影響。當然，在對于內(nèi)容體系結(jié)構(gòu)作慎重選擇后，對于內(nèi)容的呈現(xiàn)還必須符合時代發(fā)展需要。
作為一門科學的教學，數(shù)學教學必須重視數(shù)學基本概念的教學，因為數(shù)學概念是數(shù)學理論的基本組成部分。要掌握數(shù)學理論，首先要弄清基本概念。對概念定義的敘述要釆取慎重的態(tài)度，如果沒有充分的理由和實質(zhì)性的改進，則不宜更新表述，而應該考慮我國數(shù)學教學傳統(tǒng)的因素，避免引起不必要的混亂。另外，應該注意概念體系的完整性。在新高中數(shù)學課程的試驗中，有相當比例的老師反映，新課標實驗教材中反函數(shù)概念講得不夠完整，應該完整講述反函數(shù)的定義域、值域、對應關(guān)系等，現(xiàn)在概念沒有講清，學生就常對于概念提出許多問題。另外，傳統(tǒng)中學數(shù)學教學中反三角函數(shù)的最基本的內(nèi)容，包括基本的概念和性質(zhì)、定理、公式仍是數(shù)學的基礎知識，也仍應該列入中學數(shù)學的教學內(nèi)容。要掌握數(shù)學理論，首先要弄清基本概念。中學數(shù)學教學中以下的概念是極其重要的：集合、映射、運算、函數(shù)、方程、向量、概率、抽樣、統(tǒng)計、概率，復數(shù)、導數(shù)、積分、極限，等等。作為一門科學的教學，數(shù)學教學還必須重視數(shù)學科學中豐富蘊涵的科學思想和方法（其中某些一般科學方法），包括抽象、公理化、演繹、歸納、符號、算法、數(shù)形結(jié)合、坐標、變換、優(yōu)化、統(tǒng)計、隨機，等等。
1．3 量化思想
從數(shù)量關(guān)系角度來研究事物，使我們對于事物有數(shù)量上的把握，這就是基本的數(shù)量意識。量是事物存在和發(fā)展的規(guī)模、程度、速度，以及事物構(gòu)成因素在空間上的排列等可以用數(shù)量表示的規(guī)定性。例如，物體的大小、質(zhì)量的疏密、運動的快慢、溫度的高低、顏色的深淺、物體的排列順序、生產(chǎn)力的發(fā)展水平和配置等等，都是事物的量的規(guī)定性。質(zhì)是和量相對應的一個基本范疇，任何事物都是質(zhì)和量兩方面的統(tǒng)一。數(shù)學研究的一個重要方面就是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系，凡是要研究量、量的關(guān)系、量的變化，量的關(guān)系的變化、量的變化的關(guān)系，就少不了數(shù)學。不僅如此，量的變化還有變化（如導數(shù)以及導數(shù)的導數(shù)），變化仍用量刻畫。對于客觀世界的描述大致可以分為定性的描述和定量的描述，而定性描述與定量描述又密不可分。數(shù)學研究的最基本的問題是現(xiàn)實世界客觀存在的事物的多與少、大與小、位置及位置的變化、可能性大小，等等，這樣就產(chǎn)生了數(shù)以及表示數(shù)的字母，刻畫位置的坐標，刻畫可能性的概率，以及進一步的方程、不等式、函數(shù)、曲線的方程和方程的曲線、隨機變量及其概率的分布、分布的函數(shù)，等等。解析幾何的基本思想是引入坐標系從而借助于坐標對于幾何對象作定量的研究，概率論則首先引入隨機變量，借助于隨機變量對隨機現(xiàn)象作量化的處理，從而達到對于隨機現(xiàn)象的研究。數(shù)學總是從量的方面來描述客觀世界的，把客觀事物進行量化的描述是數(shù)學的基本任務。所以，新高中數(shù)學課程提出了量化思想，這應該作為一種重要數(shù)學思想在教學中加以認識和重視。
二、數(shù)學科學的特點與中學數(shù)學教學
一般認為，數(shù)學科學具有三個顯著特點，這就是抽象性，邏輯嚴密性，應用廣泛性。數(shù)學的以上三個特點是互相聯(lián)系，互相影響，密不可分的，認識數(shù)學的以上特點，并注意在中學數(shù)學教學中正確把握好數(shù)學的特點，具有重要意義。
2.1 抽象性
所謂抽象就是在思想中分出事物的一些屬性和聯(lián)系而撇開另一些屬性和聯(lián)系的過程。抽象有助于我們撇開各種次要的影響，抽取事物的主要的、本質(zhì)的特征并在“純粹的”形式中單獨地考察它們，從而確定這些事物的發(fā)展規(guī)律。數(shù)學以高度抽象的形式出現(xiàn)，首先是其研究的基本對象的高度抽象性。數(shù)學抽象最早發(fā)生于一些最基本概念的形成過程中，恩格斯對此作了極其精辟地論述：“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實世界中得到來的。人們用來學習計數(shù)，也就是作第一次算術(shù)運算的十個指頭，可以是任何別的東西，但總不是知性的自由創(chuàng)造物。為了計數(shù)，不僅要有可以要有可以計數(shù)的對象，而且還要有一種在考察對象時撇開它們的數(shù)以外的其他一切特性的能力，而這種能力是長期以經(jīng)驗為依據(jù)的歷史發(fā)展的結(jié)果。和數(shù)的概念一樣，形的概念也完全是從外部世界得來的，而不是從頭腦中由純粹的思維產(chǎn)生出來的。必須先存在具有一定形狀的物體，把這些形狀加以比較，然后才能構(gòu)成形的概念。純數(shù)學是以現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，也就是說，以非?，F(xiàn)實的材料為對象的。這種材料以極度抽象的形式出現(xiàn)，這只能在表面上掩蓋它來源于外部世界。但是，為了對這些形式和關(guān)系能從它們的純粹形態(tài)來加以研究，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi)容作為無關(guān)緊要的東西放在一邊；這樣就得到?jīng)]有長寬高的點，沒有厚度和寬度的線，a和b與x和y，常數(shù)和變數(shù)；只是在最后才得到知性自身的自由創(chuàng)造物和想象物，即虛數(shù)。”⑶ 數(shù)的概念，點、線、面等幾何圖形的概念屬于最原始的數(shù)學概念。在原始概念的基礎上又形成有理數(shù)、無理數(shù)、復數(shù)、函數(shù)、微分、積分、n維空間以至無窮維空間這樣一些抽象程度更高的概念。從數(shù)學研究的問題來看，數(shù)學研究的問題的原始素材可以來自任何領域，著眼點不是素材的內(nèi)容而是素材的形式，不相干的事物在量的側(cè)面，形的側(cè)面可以呈現(xiàn)類似的模式，比如代數(shù)的演算可以描述邏輯的推理以至計算機的運行；流體力學的方程也可能出現(xiàn)在金融領域，數(shù)學強大的生命力就在于能夠把一個領域的思想經(jīng)過抽象過程的提煉而轉(zhuǎn)移到別的領域，純數(shù)學的研究成果常常能在意想不到的地方開花結(jié)果。有些外國數(shù)學家由于數(shù)學研究對象的抽象性，就認為數(shù)學是不知其所云為何物，這種認識是不妥的。
數(shù)學科學的高度抽象性，決定數(shù)學教育應該把發(fā)展學生的抽象思維能力規(guī)定為其目標。從具體事物抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的科學抽象過程中，可以培養(yǎng)學生的抽象能力。
在培養(yǎng)學生的抽象思維能力的過程中，應該注意從現(xiàn)實實際事物中抽象出數(shù)學概念的提煉過程的教學，又要注意不使數(shù)學概念陷入某一具體原型的探討糾纏。例如，對于直線概念，就要從學生常見并可以理解的實際背景，如拉緊的線，筆直的樹干和電線桿等事物中抽象出這個概念，說明直線概念是從許多實際原型中抽象出來的一個數(shù)學概念，但不要使這個概念的教學變成對直線的某一具體背景的探討。光是直線的一個重要實際原型，但如果對于直線概念的教學陷入到對于光的概念的探究，就會導致對直線概念糾緾不清。光的概念涉及了大量數(shù)學和物理的問題，牽涉了近現(xiàn)代幾何學與物理學的概念，其中包括對歐幾里得幾何第五公設的漫長研究歷史，非歐幾何的產(chǎn)生，以及光學，電磁學，時間，空間，從牛頓力學的絕對時空觀，到愛因斯坦的狹義相對論和廣義相對論，等等。試圖從光的實際背景角度去講直線的概念，陷入對于光的本質(zhì)的討論，就使直線的概念教學走入歧途。應該清楚，光不是直線唯一的實際原型，直線的實際原型是極其豐富的。
在培養(yǎng)中學生的抽象思維能力方面，要注意的一個問題是應根據(jù)中學生的年齡心理特點，對中學數(shù)學教學內(nèi)容的抽象程度有所控制，過度抽象的內(nèi)容對普通中學生來說是不適宜的(如某些近代數(shù)學的概念)。另外，對于抽象概念的學習應該以抽象概念借以建立起來的大量具體概念作為前提和基礎，否則，具體知識準備不夠，抽象概念就成為一個實際內(nèi)容不多的空洞的事物，學生對于學習這樣的抽象概念的重要性和必要性就會認識不足。
2.2 嚴密性
所謂數(shù)學的嚴密性，就是要求對于任何數(shù)學結(jié)論，必須嚴格按照正確的推理規(guī)則，根據(jù)數(shù)學中已經(jīng)證明和確認的正確的結(jié)論(公理、定理、定律、法則、公式等)，經(jīng)過邏輯推理得到。這就要求得到的結(jié)論不能有絲毫的主觀臆斷性和片面性。數(shù)學的嚴密性與數(shù)學的抽象性有緊密的聯(lián)系，正因為數(shù)學有高度的抽象性，所以它的結(jié)論是否正確，就不能像物理、化學等學科那樣，對于一些結(jié)論可以用實驗來加以確認，而是依靠嚴格的推理來證明；而且一旦由推理證明了結(jié)論，這個結(jié)論也就是正確的。
數(shù)學科學具有普遍的嚴格邏輯性特點，而在數(shù)學發(fā)展歷史中則有許多非常典型的例子。例如，對于無限概念逐步深入的認識，畢達哥拉斯學派對于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，牛頓、萊布尼茲的微積分及其嚴格化，處處連續(xù)卻處處不可導的函數(shù)的構(gòu)造，集合論悖論的構(gòu)造，都很好地說明了數(shù)學的這種嚴格的風格和精神。
數(shù)學中嚴謹?shù)耐评硎沟妹恳粋€數(shù)學結(jié)論不可動搖。數(shù)學的嚴格性是數(shù)學作為一門科學的要求和保證，數(shù)學中的嚴格推理方法是廣泛需要并有廣泛應用的。學習數(shù)學，不僅學習數(shù)學結(jié)論，也強調(diào)讓學生理解數(shù)學結(jié)論，知道數(shù)學結(jié)論是怎么證明的，學習數(shù)學科學的方法，包括其中豐富蕰涵的嚴格推理方法以及其他的思維方法。如果數(shù)學教學對于一些重要結(jié)論不講證明過程，就使教學價值大為降低。學生也常常因為對于一些重要而基本的數(shù)學結(jié)論的理解產(chǎn)生困難而不能及時得到教師的指導解惑而對數(shù)學學習失去興趣和信心。根據(jù)對于新高中數(shù)學課程教學的一些調(diào)查，新教材中對于某些公式的推導，某些內(nèi)容的講解方面過于簡單，不能滿足同學的學習要求，特別典型的立體幾何中的一些關(guān)系判定定理只給出結(jié)論，不給出證明，方法上采用了實驗科學驗證實驗結(jié)論的方法進行操作確認，就與數(shù)學科學的精神和方法不一致，老師們的意見比較大，是目前數(shù)學教學實踐面臨的一個問題。數(shù)學教學的一個重要目標是教學生思維的過程與方法，讓學生充分認識數(shù)學結(jié)論的真理性、科學性，發(fā)展嚴密的邏輯思維能力。
嚴密性程度的教學把握當然應該貫徹因材施教的原則，根據(jù)學生和教學實際作調(diào)適，數(shù)學教材（包括在教師教學用書中）可提供嚴密程度不同的教學方案，備作選擇和參考。例如，對于平面幾何中的平行線分線段成比例定理，在實際教學中就可以根據(jù)教學實際情況采用三種不同的教學方案，第一種是初中數(shù)學教材(如人民教育出版社中學數(shù)學室編寫的<<九年義務教育三年制初級中學教科書幾何第二冊>>)普遍采用的，即從特殊的情形作說理，不加證明把結(jié)論推廣到一般情形；第二種是用面積方法來得到定理的證明(如人民教育出版社中學數(shù)學室編寫的<<義務教育初中數(shù)學實驗課本幾何第二冊>>的證明方法)；第三種則分別就比值是有理數(shù)、無理數(shù)的不同情況來加以證明，是嚴密性要求較高，對學生的思維能力要求也較高的一種教學方案(如前蘇聯(lián)的某些初中數(shù)學教材的教學要求)。可以肯定，長期不同程度的教學要求的差異也自然導致學生數(shù)學能力的較大差異。從培養(yǎng)人才的角度認識，當然應該為不同的學生設計不同的教學方案，才能有利于學生得到充分的發(fā)展。
此外，數(shù)學科學中邏輯的嚴密性不是絕對的，在數(shù)學發(fā)展歷史中嚴密性的程度也是逐步加強的，例如歐幾里得的《幾何原本》曾經(jīng)被作為邏輯嚴密性的一個典范，但后人也發(fā)現(xiàn)其中存在不嚴格，證明過程中也常常依賴于圖形的直觀。在中學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生邏輯思維能力的問題上，要注意嚴密的適度性問題。在這方面，我國中學數(shù)學教材工作者和廣大教師在初等數(shù)學內(nèi)容的教學處理上作了許多研究，許多處理方式反映了中學生的認識水平，具有重要價值，例如，中學代數(shù)教學中許多運算性質(zhì)的教學，其邏輯嚴格性不可能達到作為科學意義下數(shù)學理論的嚴格程度，一直以來的處理方法是基本合理的。
此外，在數(shù)學教學上追求邏輯上的嚴密性需要有教學時間的保證，中學生學習時間有限。目前，在實施高中數(shù)學新課程以后，各地實際教學反映教學內(nèi)容多而課時緊的矛盾比較突出，教學中適當?shù)販p少了一些對中學生來說比較抽象，或難度較大，或綜合性較強的教學內(nèi)容，使教學時間比較充裕以利于學生消化吸收知識。在目前的高中數(shù)學新課程試驗中，教學內(nèi)容的量怎樣才比較合理，讓一部分高中學生能夠?qū)W得了的新增的數(shù)學選修課內(nèi)容(尤其是選修系列四的部分專題)切實得到實施，以貫徹落實新高中課程的多樣性和選擇性，也是值得繼續(xù)探討的重要問題。
與此相關(guān)的一個問題，數(shù)學教學要處理好過程與結(jié)果的關(guān)系。學習數(shù)學基本而重要的目標是會解決各種問題，過分地強調(diào)數(shù)學教學中的邏輯與證明又會導致知識面不寬，以致對于許多影響深遠、應用廣泛的數(shù)學方法了解不夠。這說明，數(shù)學教育一方面應該重視邏輯思維能力的培養(yǎng)，還應該重視科學精神的培養(yǎng)，數(shù)學思想方法的領會。就數(shù)學結(jié)論的嚴格性和嚴密性，嚴格和嚴密的態(tài)度是需要的，但是，在一些特定的教學階段，只要不導致邏輯思維能力的降低，不影響學生對于結(jié)論的理解，對于某些類同的數(shù)學定理的證明應該可以省略，這應該不會影響數(shù)學能力的培養(yǎng)。
再一個問題，在我們強調(diào)數(shù)學教學中要讓學生理解數(shù)學過程的同時，不能混淆教材編制與課堂教學之間的界線。一方面，教材編制應該有利于老師組織教學，考慮為老師們優(yōu)化教學過程提供設計的方案，另一方面，老師的實際教學本身是對教材使用的再創(chuàng)造，必須有一個研究教材，能動地設計符合學生實際的合理教學方案的過程。教材不能過分地引導甚至去限定實際教學方法，更不必把實際教學過程都予以呈現(xiàn)。數(shù)學教材有必要為學生的學習鉆研以及老師的教學留有空間和余地，所謂讓學生把數(shù)學書 “讀厚”， 教師教學參考書則應該為老師的教學提供建議和幫助。讓教與學有一個從薄到厚，從厚到薄的過程，這是教好數(shù)學、學好數(shù)學的一個必要的過程。另外，強調(diào)在數(shù)學教學中要講過程，很重要的方面是針對的是在實際課堂教學中讓學生簡單記憶背誦數(shù)學結(jié)論而不重視數(shù)學結(jié)論的來龍去脈的教學的問題和現(xiàn)象。作為數(shù)學教科書，應該提倡簡明扼要，經(jīng)得起學生對于教科書的推敲和研究。
其他科學工作為了證明自己的論斷常常求助于實驗，而數(shù)學則依靠推理和計算來得到結(jié)論。計算是數(shù)學研究的一種重要途徑，所以，中學數(shù)學教學必須培養(yǎng)學生的數(shù)量觀念和運算能力。現(xiàn)在的計算工具更加先進，還可以借助于大型的計算系統(tǒng)，這使計算能力可以大大加強。新的高中數(shù)學課程增設了算法的內(nèi)容，充實了概率統(tǒng)計、數(shù)據(jù)處理的內(nèi)容，在高中技術(shù)課程中又增加了“算法與程序設計”模塊，這體現(xiàn)了計算機和信息時代對于培養(yǎng)運算能力的新要求。從目前中學數(shù)學實際教學情況看，算法內(nèi)容的教學由于技術(shù)條件的限制而存在落實不夠的情況，應該解決教學中存在的實際困難，如算法在計算機上真正實現(xiàn)運算，使教學落到實處，這就涉及計算機語言的問題，但在中學數(shù)學課程中直接引入計算機程序設計語言又似乎使中學數(shù)學教學的內(nèi)容過于技術(shù)化和專門化，這是值得研究的一個問題。
2.3 應用廣泛性
在日常生活、工作和生產(chǎn)勞動以及科學研究中，數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的問題是普遍存在的，數(shù)學應用具有普遍性。數(shù)學這門歷史悠久的學科，在第二次世界大戰(zhàn)以來出現(xiàn)了空前的繁榮。在各分支的研究取得重大突破的同時，數(shù)學各分支之間、數(shù)學與其他學科之間的新的聯(lián)系不斷涌現(xiàn)，更顯著地改變了數(shù)學科學的面貌。而意義最為深遠的是數(shù)學在社會生活的作用的革命性變化，尤為顯著的是在技術(shù)領域，隨著計算機的發(fā)展，數(shù)學滲入各行各業(yè)，并且物化到各種先進設備中。從衛(wèi)星到核電站，從天氣預報到家用電器，高技術(shù)的高精度、高速度、高自動、高安全、高質(zhì)量、高效率等特點，無一不是通過數(shù)學模型和數(shù)學方法并借助計算機的計算控制來實現(xiàn)的。計算機軟件技術(shù)在高技術(shù)中占了很大比重，而軟件技術(shù)說到底實際上就是數(shù)學技術(shù)。數(shù)字式電視系統(tǒng)，先進民航飛機的全數(shù)字化開發(fā)過程，大量的例子說明了，在世界范圍數(shù)學已經(jīng)顯示出第一生產(chǎn)力的本性，她不但是支撐其他科學的“幕后英雄”，也直接活躍在技術(shù)革命第一線。數(shù)學對于當代科學也是至關(guān)重要的，各門學科越來越走向定量化，越來越需要用數(shù)學來表達其定量和定性的規(guī)律。計算機本身的產(chǎn)生和進步就強烈地依賴于數(shù)學科學的進展。幾乎所有重要的學科，如在名稱前面加上“數(shù)學”或“計算”二字，就是現(xiàn)有的一種國際學術(shù)雜志的名字，這表明大量的交叉領域不斷涌現(xiàn)，各學科正在充分利用數(shù)學方法和成就來加速本學科的發(fā)展。關(guān)于數(shù)學應用的廣泛性問題，哈佛大學數(shù)學物理教授阿瑟·杰佛（Arthur Jaffe）在著名的長篇論文《整理出宇宙的秩序───數(shù)學的作用》(此文是美國國家研究委員會的報告《進一步繁榮美國數(shù)學》的一個附錄)中作了精辟的論述，他充分肯定了數(shù)學在現(xiàn)代社會中的重要作用：“在過去的四分之一世紀中，數(shù)學和數(shù)理技術(shù)已經(jīng)滲透到科學技術(shù)和生產(chǎn)中去，并成為其中不可分割的組成部分。在現(xiàn)今這個技術(shù)發(fā)達的社會里，掃除‘數(shù)學盲’的任務已經(jīng)替代了昔日掃除‘文盲’的任務而成為當今教育的重要目標。人們可以把數(shù)學對于我們社會的貢獻比喻成空氣和食物對于生命的作用。事實上，可以說，我們大家都生活在數(shù)學的時代──我們的文化已經(jīng)數(shù)學化。在我們周圍，神通廣大的計算機最能反映出數(shù)學的存在，……，若要把數(shù)學研究對我們社會的實用價值寫出來，并說明一些具體的數(shù)學思想怎樣影響這一世界，那就可以寫出幾部書來。”⑷他指出：“（1）高明的數(shù)學不管怎么抽象，它在自然界中最終必能得到實際的應用；（2）要準確地預測一個數(shù)學領域到底在那些地方有用場不可能的。”⑷有許多數(shù)學家常常對自己的思想得到的應用感到意外。例如，英國數(shù)學家哈代（G．H．Hardy）研究數(shù)學純粹是為了追求數(shù)學的美，而不是因為數(shù)學有什么實際用處，他曾自信地聲稱數(shù)論不會有什么實際用處，但四十年后質(zhì)數(shù)的性質(zhì)成了編制新密碼的基礎，抽象的數(shù)論僅與國家安全發(fā)生了緊密關(guān)系。“計算機科學家報告說每一點數(shù)學都以這樣或那樣的方式在實際應用中幫了忙，物理學家則對于‘數(shù)學在自然科學中異乎尋常的有效性’贊嘆不已。”⑷
其次，數(shù)學教育應該注意培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力，這已經(jīng)成為我國數(shù)學教育界的共識。但應該注意的另一方面，數(shù)學的應用極其廣泛，在中小學有限時間內(nèi)，介紹數(shù)學應用就必須把握好度。數(shù)學的應用具有極端的廣泛性，任何一個數(shù)學概念、定理、公式、法則都有極廣的應用。而過量和過度的數(shù)學應用問題的教學必然影響數(shù)學基礎理論的教學，而削弱基礎理論的學習又將導致數(shù)學應用的削弱。在中學數(shù)學教學中，重在讓學生初步了解數(shù)學在某些領域中的應用，認識數(shù)學學習的價值從而重視數(shù)學學習。另外，數(shù)學的應用也不僅限于具體知識的實際應用，很重要的是一些數(shù)學觀念和思想在實際工作中的運用。中小學是打基礎的時候，所謂打基礎主要是打數(shù)學基本知識和技能的基礎，要讓學生有較寬廣的數(shù)學視野,不應該以在實際中是否直接有用作為標準來決定教學內(nèi)容的取舍，也不應該要求學生數(shù)學學得并不多的時候就去考慮過量的應用問題。初中數(shù)學教學實踐反映，一些傳統(tǒng)的教學內(nèi)容被刪減對于學生數(shù)學學習產(chǎn)生了不良影響；高中數(shù)學新教材實驗回訪也反映，高中數(shù)學教科書中某些部分實際問題份量“過重”，不少實際問題的例、習題背景太復雜，教學中需花很多時間幫助學生理解實際背景，沖淡了對主要數(shù)學知識的學習。實際上，學生參加工作后面臨的實際問題會有很大的差異，學生的工作生活背景差異也很大，學生對于實際背景、實際問題的興趣會有很大的差異，另外實際問題涉及因素常常較多，對于中小學生，尤其是對于義務教育中的學生而言常常顯得比較復雜。數(shù)學在某一個特殊領域的應用就必然涉及這個領域的許多專門化的知識，對于學生成為較大的困難。此外，學校教育雖然是為學生今后參加工作和生產(chǎn)作的準備，但也不必讓學生化過多時間去思考成人階段才會遇到的一些實際問題，有些實際問題不如留給成年人去考慮。2001年，人民教育出版社中學數(shù)學室邀請北京大學數(shù)學科學學院田剛教授等談數(shù)學教育的有關(guān)問題，他們在談到對于數(shù)學科學及其教學的看法時指出：數(shù)學主要還是計算與推理，從數(shù)學中能學到的，最重要的是邏輯思維，抽象化的方法，這是一些普遍有用的東西；數(shù)學教育中邏輯思維能力的培養(yǎng)要加強，就應用而言，目前的信息技術(shù)中就非常需要很強的邏輯思維能力，尤其是編寫程序，編程有長有短，短的出錯的可能性小一些，怎樣才能短一些又解決問題，不出現(xiàn)錯誤，這就需要邏輯思維；美國進行微積分的教學改革，用高級的圖形計算器，能直觀地看，用逼近的方法；技術(shù)能對直觀地把握數(shù)學有一定的幫助，不過真正重要、有用的還是用邏輯推導公式；數(shù)學教育要教一些基本的東西。
第三方面，數(shù)學具有廣泛應用，但并非所有學生都會去從事需要很深奧的數(shù)學知識的工作，單就直接應用數(shù)學的角度而言，不必每個學生都學習很高深的數(shù)學理論。普通百姓經(jīng)常應用的是最基本的數(shù)學知識，學習數(shù)學很重要的目的是通過學習提高思維能力。所以，在中小學階段，一方面數(shù)學教學要面向全體學生，使人人都有機會獲得良好的數(shù)學教育，另一方面也應該根據(jù)學生的實際和他們的興趣愛好，根據(jù)每個學生的學業(yè)、智能發(fā)展特長，讓不同的學生在不同的方面得到不同的發(fā)展。當然，對于規(guī)劃在科學和技術(shù)領域發(fā)展的學生必然應該打下良好的數(shù)學基礎。人們注意到，大量在中學階段打下了良好數(shù)學基礎的學生，包括部分國際國內(nèi)中學數(shù)學競賽中的優(yōu)勝者，卻沒有在后續(xù)學習階段繼續(xù)以數(shù)學作為自己的主要發(fā)展方向而選擇其他的領域，而選擇理工科專業(yè)的學生常常在大學階段仍學習很多的數(shù)學科學的課程，這也說明了數(shù)學應用的廣泛性和數(shù)學對于學生發(fā)展的重要價值。
1．吳文俊. 吳文俊文集[M] .濟南：山東教育出版社，1986.
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3．恩格斯.反杜林論[M] . 北京：人民出版社，1999.
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