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本題選自2022年甘肅中考數(shù)學(xué)壓軸題，以二次函數(shù)為背景，考查軸對(duì)稱的性質(zhì)與幾何最值的問題，難度中等，題目考查的方式也是近兩年偶爾會(huì)出現(xiàn)的小趨勢。

【題目】

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）連接并延長交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時(shí)，求的長；

（3）連接．
①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．

【分析】

（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可得到a的值，拋物線的解析式為。

（2）本題也比較簡單，根據(jù)AE的長，得出點(diǎn)E、D、P的坐標(biāo)即可。

因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），所以可以的得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0）。

在拋物線上，當(dāng)x=-2時(shí)，y=-3/2。

在AC上，直接利用平行線分線段成比例得到結(jié)論：

DE/OC=AE/OA，那么可以得到DE=4/3。

所以DP=DE+PE=4/3+3/2=17/6。

（3）①將△BCD沿x軸翻折至下方的△BGF，使得點(diǎn)G在拋物線上，并求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)。

通過觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與G關(guān)于x軸對(duì)稱，也就是說點(diǎn)D與G的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。那么就可以建立等量關(guān)系求解了。

先求直線AC的解析式為y=4/3x+4，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，4/3m+4），得到點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，-4/3m-4），再代入二次函數(shù)的解析式即可：

1/4m2-1/4m-3=-4/3m-4，

解得m1=-3（舍去），m2=-4/3。

那么點(diǎn)G的坐標(biāo)就確定了，G（-4/3，-20/9）。

②本題的條件是CD=AE，要求的是CE+BD的最小值。

本題的特點(diǎn)就是兩個(gè)線段沒有公共點(diǎn)，所以需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化。由于點(diǎn)D和E分別為動(dòng)點(diǎn)，那么如何轉(zhuǎn)換到一起呢？

可以通過構(gòu)造全等的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

如上圖，過點(diǎn)C作CH∥AE，且使得CH=AC，

那么就可以得到△ACE≌△CHD（SAS），

那么CE就可以轉(zhuǎn)化為HD了。

求BD+CE的最小值就可以轉(zhuǎn)化為求BD+HD的最小值了。

觀察可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)H、D、B三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)最小值為BH的長。

那么只需要求出BH的長即可，通過過點(diǎn)H作AB的垂線，利用勾股定理可以得到BH=√（42+92）=√97。

當(dāng)然，本題還可以有其它的構(gòu)造方式，例如把BE轉(zhuǎn)換到x軸的下方，但是構(gòu)圖沒有作平行這么直接，所以上面的方法是最直接的。

或者像下面這樣構(gòu)造，本質(zhì)上都是一樣的。

本題與2022年遵義中考數(shù)學(xué)的填空壓軸題類似。

【總結(jié)】

（3）①中使得點(diǎn)G落在拋物線上，只需使得點(diǎn)G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式能夠成立即可。

（3）②是幾何最值的問題，最終轉(zhuǎn)化為將軍飲馬，或者直接利用兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解即可。