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1.拋物線y＝4x²的準(zhǔn)線方程為( D )

A．x＝－1  B．y＝－1

C．x＝－  D．y＝－

2.正三角形一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線x²＝2py(p>0)的焦點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則滿足此條件的正三角形共有( C )

A．0個(gè)  B．1個(gè)

C．2個(gè)  D．4個(gè)

解析：由拋物線的對(duì)稱性可知，另兩個(gè)頂點(diǎn)一組在焦點(diǎn)的下方，一組在焦點(diǎn)的上方，共有兩組，故選C.

3.如圖，過(guò)拋物線y²＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線方程為( C )

A．y²＝9x  B．y²＝6x

C．y²＝3x  D．y²＝x

解析：分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為E，D，如圖．

因?yàn)?/span>|BC|＝2|BF|，由拋物線的定義可知|BF|＝|BD|，∠BCD＝30°.

又|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝6，

即F為AC的中點(diǎn)，所以p＝|EA|＝，

故拋物線的方程為y²＝3x，故選C.

4.(2013·山東省臨沂市3月一模)若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程為y²＝8x .

解析：由條件知－＝－2，所以p＝4，

故拋物線的方程為y²＝8x.

5.(2012·皖南八校第二次聯(lián)考)拋物線x²＝ay過(guò)點(diǎn)A(1，)，則點(diǎn)A到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為.

解析：由已知可得1＝a，所以a＝4，所以x²＝4y.

由拋物線的定義可知點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離等于A到準(zhǔn)線的距離：

y_A＋＝＋1＝.

6.(2013·衡水調(diào)研卷)設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線y²＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線的方程為y²＝±8x .

解析：由題可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，于是過(guò)焦點(diǎn)且斜率為2的直線l的方程為y＝2(x－)，令x＝0，可得A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)，所以S_△OAF＝··＝4，所以a＝±8，故拋物線的方程為y²＝±8x.

7.(2012·山西大學(xué)附中第二學(xué)期3月考)已知拋物線y²＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，N為拋物線上的一點(diǎn)，且滿足|NF|＝|MN|，則∠NMF＝.

解析：過(guò)N作NQ⊥準(zhǔn)線于Q，則|NQ|＝|NF|.

因?yàn)?/span>|NF|＝|MN|，

所以|NQ|＝|MN|，

所以cos∠QNM＝＝，所以∠QNM＝，

所以∠NMF＝∠QNM＝.

8.(2012·重慶市七區(qū)第一次聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,2)，其焦點(diǎn)F在x軸上．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程．

解析：(1)由題意，可設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²＝2px，

因?yàn)辄c(diǎn)A(2,2)在拋物線C上，所以p＝1，

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²＝2x.

(2)由(1)可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)，

又直線OA的斜率為1，

所以與直線OA垂直的直線的斜率為－1.

所以過(guò)點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程為y－0＝－1(x－)，即x＋y－＝0.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y²＝2px(p>0)上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為5.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若以C為圓心的圓在y軸上截得的弦AB的長(zhǎng)為4，求證：圓C過(guò)定點(diǎn)．

解析：(1)由拋物線的定義得＋4＝5，則p＝2，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²＝4x.

(2)證明：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(，y₀)，半徑為r.

因?yàn)閳AC在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4，

所以r²＝4＋()²，

故圓C的方程為(x－)²＋(y－y₀)²＝4＋()²，

整理得(1－)y－2yy₀＋(x²＋y²－4)＝0，①

對(duì)于任意的y₀∈R，方程①均成立．

故有，解得.

所以圓C過(guò)定點(diǎn)(2,0)．

1.(2012·泉州四校二次聯(lián)考)雙曲線2x²－y²＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是( C )

A．2  B．2

C．4  D．4

解析：雙曲線的方程2x²－y²＝8可化為－＝1，則a＝2，故實(shí)軸長(zhǎng)2a＝4，故選C.

2.(2012·北京市西城區(qū)第一學(xué)期期末)若雙曲線x²－ky²＝1的一個(gè)焦點(diǎn)是(3,0)，則實(shí)數(shù)k＝( B )

A.  B.

C.  D.

解析：因?yàn)殡p曲線x²－ky²＝1的一個(gè)焦點(diǎn)是(3,0)，故1＋＝9，所以k＝，故選B.

3.(2013·四川省成都4月模擬)已知定點(diǎn)A，B，且|AB|＝4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝3，則|PA|的最小值為( C )

A.  B.

C.  D．5

解析：由|PA|－|PB|＝3知P點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線一支(以B為焦點(diǎn)的一支)，因?yàn)?/span>2a＝3,2c＝4，所以a＝，c＝2，所以|PA|_min＝a＋c＝，故選C.

4.(2012·唐山市上期期統(tǒng)考)已知雙曲線的漸近線為y＝±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－4,0)，(4,0)，則雙曲線方程為( D )

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

解析：根據(jù)題意設(shè)雙曲線方程為x²－＝λ(λ>0)，即－＝1，

則a²＝λ，b²＝3λ，

所以c²＝a²＋b²＝4λ＝16?λ＝4，

所以雙曲線方程為－＝1，故選D.

5.(2012·山東省青島市3月質(zhì)量檢測(cè))已知雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，則它的離心率為2 .

解析：由題知＝，則()²＝3，故e＝＝2.

6.(2012·廣東省高州市第一次模擬)已知F₁、F₂是雙曲線－＝1的焦點(diǎn)，PQ是過(guò)焦點(diǎn)F₁的弦，那么|PF₂|＋|QF₂|－|PQ|的值是16 .

解析：由雙曲線方程得，2a＝8.

由雙曲線的定義得|PF₂|－|PF₁|＝2a＝8，①

|QF₂|－|QF₁|＝2a＝8，②

①＋②，得

|PF₂|＋|QF₂|－(|PF₁|＋|QF₁|)＝16，

所以|PF₂|＋|QF₂|－|PQ|＝16.

7.(2013·武昌區(qū)2月調(diào)研)雙曲線－＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為.

解析：雙曲線右頂點(diǎn)A(3,0)，右焦點(diǎn)F(5,0)，雙曲線一條漸近線的斜率是，直線FB的方程是y＝(x－5)，與雙曲線方程聯(lián)立解得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為－，故△AFB的面積為×|AF||y_B|＝×2×＝.

8.求與圓(x＋2)²＋y²＝2外切，并且過(guò)定點(diǎn)B(2,0)的動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

解析：圓(x＋2)²＋y²＝2的圓心為A(－2,0)，半徑為.

設(shè)動(dòng)圓圓心為M，半徑為r.

由已知條件，知?|MA|－|MB|＝，

所以點(diǎn)M的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

且a＝，c＝2，所以b²＝.

所以M點(diǎn)的軌跡方程為－＝1(x>0)．

9.已知兩定點(diǎn)F₁(－，0)，F₂(，0)，滿足條件||－||＝2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y＝kx－1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)．

(1)求k的取值范圍；

(2)如果||＝6，求k的值．

解析：(1)由雙曲線的定義可知，曲線E是以F₁(－，0)，F₂(，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且c＝，a＝1，易知b＝1，

故雙曲線E的方程為x²－y²＝1(x＜0)．

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由題意建立方程組：

，消去y得(1－k²)x²＋2kx－2＝0，

又已知直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，有

，解得－＜k＜－1.

(2)因?yàn)?/span>|AB|＝·|x₁－x₂|

＝·

＝·

＝2.

依題意得2＝6，

整理后得28k⁴－55k²＋25＝0，

所以k²＝或k²＝，但－＜k＜－1，所以k＝－.

1.(2013·衡水調(diào)研)橢圓＋＝1(a>b>0)上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為d₁，d₂，焦距為2c.若d_1,2c，d₂成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為( A )

A.  B.

C.  D.

解析：由d₁＋d₂＝2a＝4c，所以e＝＝，故選A.

2.(2012·福建省寧德市質(zhì)量檢查)已知方程＋＝1(k∈R)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是( B )

A．k>1或k<3  B．1<k<3

C．k>1  D．k<3

解析：因?yàn)榉匠?/span>＋＝1(k∈R)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，解得1<k<3，故選B.

3.(2013·溫州五校)橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F₁，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF₁的中點(diǎn)M在y軸上，則|PF₁|＝( A )

A.  B.

C．6  D．7

解析：由條件知PF₂⊥x軸，

則|PF₂|＝＝，

于是|PF₁|＝2a－|PF₂|＝2×5－＝，故選A.

4.(2012·海淀二模)已知點(diǎn)F₁，F₂是橢圓x²＋2y²＝2的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|＋|的最小值是(C )

A．0  B．1

C．2  D．2

解析：由于O為F₁、F₂的中點(diǎn)，

則|＋|＝2||，

而當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，||取得最小值1，

所以|＋|的最小值為2，故選C.

5.(2012·重慶市第二次七區(qū)聯(lián)考)橢圓x²＋my²＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的三倍，則m的值為.

解析：由題意得＝3×1，所以m＝.

6.(2012·廣東省潮州市上學(xué)期期末)直線x－2y＋2＝0經(jīng)過(guò)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為.

解析：由直線方程知橢圓的焦點(diǎn)為(－2,0)，頂點(diǎn)為(0,1)，則b＝1，c＝2，所以a＝＝，所以e＝＝.

7.(2012·廣東省肇慶第一次模擬)短軸長(zhǎng)為，離心率e＝的橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁，F₂，過(guò)F₁作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則△ABF₂的周長(zhǎng)為6 .

解析：由題知，即，

解得，

由橢圓的定義知△ABF₂的周長(zhǎng)為4a＝4×＝6.

8.設(shè)F₁，F₂分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，F₁到直線l的距離為2.

(1)求橢圓C的焦距；

(2)如果＝2，求橢圓C的方程．

解析：(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.

由已知可得F₁到直線l的距離為c＝2，

故c＝2.所以橢圓C的焦距為4.

(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由題意知y₁<0，y₂>0.

直線l的方程為y＝(x－2)．

聯(lián)立，得方程組，

消去x，得(3a²＋b²)y²＋4b²y－3b⁴＝0，

解得y₁＝，y₂＝.

因?yàn)?/span>＝2，所以－y₁＝2y₂，

即＝2×，得a＝3.

而a²－b²＝4，所以b＝.

故橢圓C的方程為＋＝1.

9.(2012·廣東省江門(mén)市第一次模擬)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1)，離心率e＝.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線l_n：y＝(n∈N^*)與橢圓C在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)A_n(x_n ,  y_n)，記a_n＝x，試證明：對(duì)?n∈N^*，a₁·a₂·…·a_n>.

解析：(1)依題意，設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，

則，解得，

所以橢圓C的方程為＋y²＝1.

(2)由，得x＝，

a_n＝x＝，

所以a₁·a₂·…·a_n＝×××…×＝>.