引言 對“統(tǒng)計和概率”的整體思考
頭腦風(fēng)暴：
1．對于統(tǒng)計與概率，請寫出您認(rèn)為最重要的核心詞。
2．在《標(biāo)準(zhǔn)》中，統(tǒng)計與概率的學(xué)習(xí)包括哪些內(nèi)容？這些內(nèi)容與過去相比有哪些變化？這種變化的意義是什么？四個部分之間的關(guān)系是什么？
3．在這部分教學(xué)中，請寫出您印象最深刻的教學(xué)現(xiàn)象？您還有哪些困惑的問題？
以下列舉教師在教學(xué)中的困惑：
1．從低年級開始，現(xiàn)在所有的實驗教材都已經(jīng)加強(qiáng)了統(tǒng)計與概率的內(nèi)容，老師在教學(xué)過程當(dāng)中稍不留意就出現(xiàn)一個問題就是越位的現(xiàn)象。本來二年級要達(dá)到的目標(biāo)一年級就完成了。教師對統(tǒng)計與概率的教學(xué)要求到底到什么程度上，還不是很清楚。
——統(tǒng)計與概率內(nèi)容不同階段的要求。
2．一方面，統(tǒng)計與概率的最大特點是應(yīng)用性非常廣泛，也有很多新穎的例子；另一方面，出現(xiàn)在教學(xué)過程當(dāng)中的例子還是不夠?qū)嶋H，對孩子的吸引力不夠大。
——學(xué)生感興趣的統(tǒng)計與概率學(xué)習(xí)或應(yīng)用的例子。
3．教師都認(rèn)同應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計的過程,但感覺課堂上挺熱鬧,也不知道是否培養(yǎng)了學(xué)生的統(tǒng)計觀念?
——什么是統(tǒng)計觀念？如何在統(tǒng)計過程中發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念？
4．在概率實驗時，有時會出現(xiàn)頻率與概率差別比較大的情況，學(xué)生糊涂了，老師也不知如何處理？
——教師如何指導(dǎo)學(xué)生做概率實驗；是否要做概率實驗。
5．到底什么是統(tǒng)計，什么是概率？干嗎把這兩個內(nèi)容放在一起？
——對統(tǒng)計、概率、統(tǒng)計與概率之間聯(lián)系的理解。
雖然有很多困惑，就這些困惑跟新課程開始的時候困惑確實是不太一樣了，那時候可能老師們更多關(guān)注要不要花那么長時間去經(jīng)歷這個過程，現(xiàn)在老師們開始關(guān)注更深刻的問題了，怎么讓學(xué)生愿意經(jīng)歷這個過程？學(xué)生在這個過程中有沒有收獲？包括我們怎么去評價這個過程？包括到底什么是統(tǒng)計與概率，課程的整體設(shè)計等更深層次的問題。
第一節(jié) “統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的教育價值
統(tǒng)計與概率的內(nèi)容，跟過去相比得到了大大的增強(qiáng)，這樣一來我們就要思考這么一個問題：增強(qiáng)的原因是什么？實際上，就是它的教育價值是什么？下面是采訪小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師華應(yīng)龍和中學(xué)特級教師張思明老師時，他們的發(fā)言。
華應(yīng)龍(北京第二實驗小學(xué)特級教師):統(tǒng)計與概率的價值主要是，孩子沒有學(xué)統(tǒng)計概率這個部分的時候，學(xué)數(shù)與代數(shù)、空間與圖形時，所積淀下來的基本上都是一種確定性的思維。通過統(tǒng)計概率的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生來形成一種統(tǒng)計的觀念和隨機(jī)的思想。
張思明（北京大學(xué)附屬中學(xué)特級教師）：作為一個老師，自己當(dāng)學(xué)生的時候也沒有感覺到數(shù)據(jù)這么重要。但是現(xiàn)在我們的生活已經(jīng)使每一個學(xué)生都感覺到，我們生活在一個數(shù)據(jù)的世界里，每一天從早晨到晚上所面對的大量的信息，有很大一部分是用數(shù)據(jù)來表現(xiàn)的，我們希望孩子從小的時候，面對這樣一個數(shù)據(jù)的世界，應(yīng)該能理解數(shù)據(jù)中是有信息的，信息是可以加工和提取的，信息是能夠為人服務(wù)的。信息的加工的方法好，或者是不好，可能會得出是有利或者是不利的信息，當(dāng)然這是根據(jù)人的統(tǒng)計方向來決定的。從小學(xué)設(shè)立這種課程最重要的不是學(xué)了更多數(shù)據(jù)統(tǒng)計的方法，也不是把那些概念做成像知識點那樣訓(xùn)練，最重要的是通過給孩子定性的數(shù)據(jù)的分析的感覺，模擬這種過程，讓孩子體會到數(shù)據(jù)是有信息的，信息是可以通過我們加工提煉出來的、為我們的生活和學(xué)習(xí)服務(wù)的。
具體來說，“統(tǒng)計與概率”增強(qiáng)的主要原因有：
1．統(tǒng)計與概率在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用
實際上，生活先于課程把統(tǒng)計推到了學(xué)生面前。比如我們現(xiàn)在一打開報紙就會看到很多很多的統(tǒng)計圖。下面就是一個例子：
【案例1】報紙上的統(tǒng)計圖
前一段時間翻報紙，報紙上有這么一條信息（見下圖）：今春北方沙塵暴天氣預(yù)計會減少。在這條新聞當(dāng)中，利用了一個折線統(tǒng)計圖反映了1954年到2006年春季，也就是3到5月份北方沙塵過程的變化曲線，當(dāng)然他在預(yù)測的時候可能會參照這個折線統(tǒng)計圖。
圖給我們很大的沖擊力，如果沒有這個圖的話，剛才這一段文字大家看起來會很枯燥，但有了圖我們就非常直觀。
以上我們看到了在日常生活中“統(tǒng)計與概率”通過報刊雜志這種形式體會到它的存在，實際上“統(tǒng)計與概率”與各個學(xué)科也得到了迅速的融合。
【案例2】統(tǒng)計在文學(xué)著作權(quán)中的應(yīng)用。
我們比較關(guān)注的一個問題，《紅樓夢》前80回后40回是一個人所作還是兩個人所作，也就是文學(xué)著作權(quán)的問題。乍一想，感覺這個事情跟統(tǒng)計沒有太大的關(guān)系，但經(jīng)過思考覺得也是有聯(lián)系的。對《紅樓夢》書稿進(jìn)行了統(tǒng)計，把前80回和40回的某些東西進(jìn)行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)有不同。舉個例子，就是在前80回中有很多下人丫鬟，他們的自稱都是“小的”，而在后40回里就改變了自稱為“小的”，這就有一定的理由認(rèn)為是不同的人寫的。
當(dāng)然，我們也可以看到，統(tǒng)計推斷跟確定性的事物不太一樣，并不是說一定就能通過判定一定是不同人寫的，但最起碼統(tǒng)計提供了一個依據(jù)，提供了一個思路。所以統(tǒng)計在跟別的學(xué)科的應(yīng)用，實際上為別的學(xué)科的研究方法提供了一個新的思路。
北京大學(xué)謝衷潔教授講過應(yīng)用統(tǒng)計與概率的實例，他舉了很多很多的例子，我們把這個例子的名字念一念，你會感到統(tǒng)計與概率無所不在。比如說：他提到了工程設(shè)計中、勞動保護(hù)中、工業(yè)質(zhì)量控制中、犯罪足跡的判斷中，還有耶穌的裹尸布之迷、天王星光環(huán)的發(fā)現(xiàn)等。
2.“統(tǒng)計與概率”提供了一種不確定的（隨機(jī)的）思維方式
統(tǒng)計與概率的思維方式，和邏輯推理不一樣，它是不確定的，也就是隨機(jī)的思想。這也是在小學(xué)階段增加統(tǒng)計與概率的一個重要理由。也就是為學(xué)生打開了一扇窗，讓他感覺到除了我們天天學(xué)習(xí)的確定性之外，數(shù)學(xué)里也有不確定的東西，這很重要，而且這個不確定性的東西不是因為數(shù)學(xué)造成的，而是因為確實生活中有很多這樣的現(xiàn)象，在扔這個硬幣之前誰也沒有辦法知道扔出以后會得到正面還是反面。有人說這種思維，你不用教到大學(xué)就自然知道了，但是我們會有這種感覺，一旦什么東西根深蒂固了，就很難改變了。所以，隨機(jī)的思維需要從小通過適當(dāng)?shù)幕顒邮箤W(xué)生體會。
統(tǒng)計與概率又是義務(wù)教育階段唯一培養(yǎng)學(xué)生從不確定的角度來觀察世界的數(shù)學(xué)內(nèi)容.不確定思維與確定性思維的差別,需要盡早去體會.
3．有助于學(xué)生解決問題能力、情感態(tài)度價值觀等方面的發(fā)展
統(tǒng)計與概率有助于學(xué)生形成尊重事實、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度；使學(xué)生體會用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的思維方式；使學(xué)生提高綜合運用知識解決問題以及實踐能力；有助于學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的積極的情感體驗，體會數(shù)學(xué)的作用。
通過前面一段分析，可以認(rèn)識到，統(tǒng)計與概率在小學(xué)的加強(qiáng)主要原因就是它的廣泛應(yīng)用和思維特點。我們的教學(xué)需要培養(yǎng)一個能適應(yīng)未來生活，能夠適應(yīng)未來所從事職業(yè)的人，更需要從小為他提供基礎(chǔ)。
第二節(jié) 案例研討
對于統(tǒng)計與概率，在小學(xué)階段無需質(zhì)疑，“統(tǒng)計”的分量應(yīng)該是大于概率。所以我們首先來看統(tǒng)計。
一、統(tǒng)計
1.“平均數(shù)”教學(xué)的討論
吳正憲老師曾經(jīng)對平均數(shù)一課進(jìn)行過反思：平均數(shù)教學(xué)，我原來也教過而且教的非常好，怎么教的呢？無非就是出示例題，然后分析一下條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生開始列式計算，通過列式就總結(jié)出一些規(guī)律：平均數(shù)等于總數(shù)除以總份數(shù)。數(shù)量關(guān)系來了以后，就像一根救命稻草一樣，就可以反復(fù)的練習(xí)了。有一次她上完課以后，老師們握著她的手說：說吳老師說像您這樣上課，學(xué)生學(xué)的太扎實了，考試成績準(zhǔn)保高。
但是，吳正憲老師不滿足于此，很善于反思。有一次她做了一個測試：某一個公司招工，告訴月平均工資是800元，有一位員工，在開工資的時候只拿到600塊錢，這個員工就不服，不是說平均工資是800元嘛？那么請問學(xué)生，這個員工如果去狀告這個老板的話，會不會贏？對于這個問題，全班的正確率只有28％，學(xué)生顯然沒有明白平均數(shù)是什么？它的意義是什么？所以，吳老師說她經(jīng)過了痛苦的反思，癥結(jié)是什么？癥結(jié)不在于孩子癥結(jié)在于教師。她用這段話描述她的心情：我們天真的以為孩子只要掌握了這個數(shù)量關(guān)系就能夠解決平均數(shù)的所有的問題，或者平均數(shù)的實際問題了。所以她提出一個問題：我們的樁，到底該打在哪？是打在對數(shù)量關(guān)系的反復(fù)的演練上，還是對平均數(shù)的價值、平均數(shù)的意義的理解上？正是這個思考，吳老師就進(jìn)行了鉆研，形成了一節(jié)我們認(rèn)為還是很具有借鑒意義的一節(jié)平均數(shù)的課（請見拓展資源1）。
進(jìn)一步，我們還想對平均數(shù)教學(xué)提出一些思考，看下面的一個案例：
[案例1] 孩子的想法有道理嗎
案例描述：
在教學(xué)平均數(shù)時，課前教師以組為單位統(tǒng)計了這個班同學(xué)一分鐘踢毽子的情況，并從中引用了以下兩組數(shù)據(jù)在課上討論：
第三小組：25、23、34、30、47、25、26
第五小組：25、31、40、33、29、31
然后提出問題：請你來評判一下，哪個小組踢的好？
我們以為學(xué)生肯定會想到用第三小組平均數(shù)和第五小組的平均數(shù)來比較，然而學(xué)生卻出現(xiàn)了很多想法，下面列舉出來：
（1）我可以比較兩個隊中踢的最高的，也就是拿第三小組最多的那個和第五小組踢最多的去比，所以第三個小組踢得好。
（2）比較總數(shù)，這個觀點很容易就被其他同學(xué)反對，覺得不公平。
（3）我可以一個一個的比，把最高的比完了，比第二高的。就是第三小組的第一名和第五小組的第一名倆倆比，然后第二名兩兩比，就是一個一個的對應(yīng)的去比。
（4）既然人數(shù)不一樣，就把第五小組再增加一個或者是把第三小組去掉一個。
（5）跟前面那個一個一個比差不多，比完了以后發(fā)現(xiàn)第三小組只有前兩名比第五小組的好，其他的都不如第五小組的好。
（6）當(dāng)然其中也有一部分孩子提到要用總數(shù)除以每個組的人數(shù)，也就是用平均數(shù)來比。
案例問題：
（1）學(xué)生這么多方法都有道理嗎？
（2）有老師說這節(jié)課的目標(biāo)還是要講平均數(shù) ，而且平均數(shù)確實在統(tǒng)計中是非常重要的一個統(tǒng)計量，孩子也不存在困難，那么我們是不是有必要來花那么長時間，反而會沖淡了對平均數(shù)的理解，也就是你對這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)的一個理解？換句話說就是這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)的定位到底是什么？
（3）假設(shè)你的學(xué)生確實有這些想法，你準(zhǔn)備怎么辦？
2．收集數(shù)據(jù)教學(xué)的討論
我們先進(jìn)入到一個課例（清華大學(xué)附屬小學(xué)安華），是關(guān)于一年級的統(tǒng)計圖的教學(xué)。這個課例主要的內(nèi)容是讓學(xué)生了解一下條形統(tǒng)計圖，會從條形統(tǒng)計圖中獲取一些信息，比如說誰多誰少等等。
【案例2】安華老師的一年級統(tǒng)計圖教學(xué)。
案例描述：
安老師開始設(shè)立了這么一個情境，有4部動畫片，想要統(tǒng)計一下班里人最喜歡看的那個動畫片是什么，人數(shù)是什么。學(xué)生討論得出是用舉手方法來統(tǒng)計比較好。突然有學(xué)生說起立比舉手好，老師就詢問學(xué)生們你們誰覺得哪個好，大多數(shù)同學(xué)們都認(rèn)為起立好，那最終就采取“起立”的方法統(tǒng)計數(shù)據(jù)了。
統(tǒng)計過后又出現(xiàn)問題了，通過統(tǒng)計算合計后的總?cè)藬?shù)，與班里實際的總?cè)藬?shù)不相等。他們這個班是32個人，結(jié)果統(tǒng)計完總?cè)藬?shù)變成了35個人，有人重復(fù)多站了，一般老師處理就是問問剛才誰沒站起來、或者站了多次，然后修改一下數(shù)據(jù)。最多是再重新起立一次，而安華老師則組織學(xué)生進(jìn)行了討論：采用哪種收集數(shù)據(jù)的方法好。孩子們想到了很多方法，比如全體按最喜歡看的4部動畫片站成四列，比如每人寫一個紙條然后進(jìn)行統(tǒng)計。最后，老師組織大家先獨立從4部動畫片中任選一部（從四個紙條中任選一個），然后分別貼在黑板上，自然地形成了一個條形統(tǒng)計圖。
案例問題：
（1）遇到統(tǒng)計合計后的總?cè)藬?shù)與班級實際總?cè)藬?shù)不同的時候，你會如何處理？
（2）安華老師的處理有什么不同？這種不同是否有價值？
（3）除了畫圖、閱讀簡單的統(tǒng)計圖外，統(tǒng)計圖的學(xué)習(xí)中還有哪些重要的內(nèi)容？
二、概率
1.學(xué)生對概率實驗數(shù)據(jù)的看法
概率教學(xué)，現(xiàn)在老師們都指導(dǎo)學(xué)生做一些實驗，在實驗過程中，學(xué)生就會出現(xiàn)一些困惑，怎么來幫助學(xué)生消除這些困惑呢？他們到底有什么想法和困惑呢？先我們來看一看學(xué)生對一個實驗數(shù)據(jù)的討論。
【案例3】學(xué)生對實驗數(shù)據(jù)的想法
案例描述：
教師首先鼓勵學(xué)生猜想，一個均勻的硬幣隨機(jī)拋出后，正面朝上的可能是多少。所有的學(xué)生都認(rèn)為是1/2。教師接著提出問題，那么拋10次硬幣，正好5次正面朝上的可能性大不大，大部分學(xué)生都認(rèn)為比較大。接著，教師就呈現(xiàn)了下面一組學(xué)生做實驗的數(shù)據(jù)：
實驗總次數(shù) | 正面朝上的次數(shù) | 反面朝上的次數(shù) |
10 | 5 | 5 |
10 | 5 | 5 |
10 | 9 | 1 |
10 | 4 | 6 |
10 | 7 | 3 |
10 | 6 | 4 |
10 | 6 | 4 |
10 | 6 | 4 |
10 | 6 | 4 |
10 | 4 | 6 |
10 | 3 | 7 |
10 | 2 | 8 |
學(xué)生的一些想法和困惑是：
（1）我們猜想的是5正5反，結(jié)果卻出現(xiàn)了9正1反，這是為什么？（有的學(xué)生認(rèn)為是投的手法不同：沒投時如果是正面朝上，落下就是正面朝上；沒投時如果是反面朝上，落下就是反面朝上。）
（2）我覺得10次中出現(xiàn)5次的概率應(yīng)該挺大的，現(xiàn)在看12次中只有2次，不知是由于不確定造成的還是我的想法有錯誤？
（3）一個學(xué)生認(rèn)為實驗次數(shù)不能太少，如果把所有組的數(shù)據(jù)加起來，正面朝上的次數(shù)和反面朝上的差不多，所以1/2還是有意義的。
（4）不是說實驗次數(shù)越多，越接近1/2嗎，我怎么覺得就取前兩組的數(shù)據(jù)和，正好是1/2，再加后面的反而不是1/2了？
（5）這些都是不確定因素造成的。
案例問題：
（1）擲10次硬幣，正好5次正面朝上的可能性到底有多大？如果能精確算出來更好，如果算不出來的話，請老師們猜想一下是會特別大像80％，還是50％，還是說比50％小，還是說比10％還要??？
（2）既然是1/2，那么一會是9正1反，一會又1正9反，那么怎么來理解1/2呢？
2.是否需要做概率實驗
老師們在概率教學(xué)中，有一個比較大的爭論：在教學(xué)概率時，我們到底要不要做概率實驗。認(rèn)為不做或少做實驗的老師,主要是基于這樣幾個原因：
(1)實驗中，頻率和概率之間的確是有一些差距的,可能就會造成孩子實驗完之后反而有些糊涂了。比如，像上面學(xué)生的討論，本來所有學(xué)生都猜想1/2，實驗后反而產(chǎn)生了一些困惑。
(2)第二學(xué)段的一個目標(biāo)是用分?jǐn)?shù)去刻劃一些事件發(fā)生可能性的大小。由于學(xué)生對頻率和概率的混淆，實驗之后由于頻率的不確定性，學(xué)生反而認(rèn)為概率也是不確定的了。
（3）從二年級就開始做可能性實驗，比如摸球，一直到五年級都在摸，有的孩子就覺得興趣越來越淡薄了，因為摸之前他已經(jīng)能猜測到了。
堅持做概率實驗的老師也是有理由的，主要如下：
（1）在實驗過程當(dāng)中，孩子能夠不斷的去體會事情發(fā)生的不確定性。
（2）做實驗可以改變孩子當(dāng)初的一些誤解。比如袋中中有一些紅色有一些白色，有的孩子可能認(rèn)為，我這次摸到了白色下次就應(yīng)該摸到紅色，其實這是他對這隨機(jī)現(xiàn)象的一種誤解。孩子在實驗的過程當(dāng)中，他會不斷的去修正自己的這種誤解。
（3）做實驗的教育價值。比如有的學(xué)生為了得到“1/2“，或者有的學(xué)生故意想摸到可能性小的球，所以他們經(jīng)常在摸球時偷看。如果教師能正確處理這些情況，反而能培養(yǎng)學(xué)生求實求真的態(tài)度。
看了老師們的討論，我覺得也挺有啟發(fā)的，確實不是簡單的要做或不做實驗的問題，我們可能就要思考，比如說我們要做實驗怎么來保證數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；包括孩子確實出現(xiàn)了混淆的時候，教師如何引導(dǎo)學(xué)生。所以，這個討論不是簡單的得出要做還是不做，而是由此來引發(fā)對概率更深層次的思考。所以提出幾個問題：
1．從您這個角度來說，您認(rèn)為需不需要做概率實驗？說明理由。
2．在做概率實驗中，您有什么經(jīng)驗？比如剛才提到了您是不是設(shè)計了一些學(xué)生感興趣的實驗？當(dāng)出現(xiàn)頻率概率相差很大的時候，您是如何引導(dǎo)學(xué)生討論的？
3．頻率和概率有什么差別和聯(lián)系？
