上一場(chǎng)我們給老師們拋出了這么個(gè)問題，“統(tǒng)計(jì)與概率”你覺得最重要的核心詞是什么？實(shí)際上，我們認(rèn)為統(tǒng)計(jì)與概率中最核心有兩個(gè)詞：統(tǒng)計(jì)觀念（又叫做數(shù)據(jù)分析觀念）、隨機(jī)觀念。那么為什么把這兩個(gè)詞作為核心詞呢？首先我們從什么是統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)中最核心的目標(biāo)來談起。
一、統(tǒng)計(jì)
（一）統(tǒng)計(jì)的內(nèi)涵
1.統(tǒng)計(jì)的定義
這里引用不列顛百科全書對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)定義：統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)。
（1）數(shù)據(jù)
數(shù)據(jù)跟數(shù)的非常重要的區(qū)別是它有背景，所以這也可以理解為什么把“統(tǒng)計(jì)與概率”從過去數(shù)的一個(gè)單元單獨(dú)拿出來，成為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)習(xí)領(lǐng)域。人們往往從一堆有實(shí)際背景的數(shù)中獲取信息。
（2）收集和分析數(shù)據(jù)
收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)是非常重要的。
（3）科學(xué)和藝術(shù)
統(tǒng)計(jì)既是一門科學(xué)，有自己的一些數(shù)學(xué)方法；但是它又是一個(gè)藝術(shù)，也就是說要根據(jù)實(shí)際的背景，選擇不同的方法。
2.統(tǒng)計(jì)觀念（數(shù)據(jù)分析觀念）
這里想到了上一場(chǎng)張思明老師的描述：數(shù)據(jù)中是有信息的、信息是可以提取的、信息是為人們服務(wù)的。他的話實(shí)際上對(duì)我們理解什么是數(shù)據(jù)分析觀念，提供了一個(gè)方面思考。
《標(biāo)準(zhǔn)》中提出，統(tǒng)計(jì)觀念主要表現(xiàn)在以下的這么幾個(gè)方面：認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，能從統(tǒng)計(jì)的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問題；通過收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程，作出合理的決策；能對(duì)數(shù)據(jù)的來源、收集和描述數(shù)據(jù)的方法、由數(shù)據(jù)得到的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑。
從上面可以看到，在小學(xué)階段對(duì)學(xué)生來說統(tǒng)計(jì)觀念（數(shù)據(jù)分析的觀念）是非常重要的，所以把它作為統(tǒng)計(jì)教學(xué)的一個(gè)核心詞。具體來說，統(tǒng)計(jì)觀念（數(shù)據(jù)分析）的觀念包括以下幾個(gè)方面：
（1）數(shù)據(jù)的意識(shí)。能想到用數(shù)據(jù)來處理問題。實(shí)際上用數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷是一種重要的思維方式。
（2）體會(huì)數(shù)據(jù)中是蘊(yùn)含著信息的。所以我們要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程，即數(shù)據(jù)處理的過程，把信息提取出來。
（3）根據(jù)背景來選擇合適的方法。就是剛才所說的藝術(shù)，它跟我們?cè)瓉韺W(xué)到的有些數(shù)學(xué)不大一樣，比如數(shù)的運(yùn)算的結(jié)果就是對(duì)和錯(cuò)，而數(shù)據(jù)往往沒有一個(gè)嚴(yán)格意義上對(duì)和錯(cuò)，不是說這堆數(shù)據(jù)中一定要用平均數(shù)刻畫就對(duì)了。
3.回顧“平均數(shù)”一課
回顧上一場(chǎng)我們討論的那個(gè)案例，在平均數(shù)的引入中學(xué)生出現(xiàn)了好多做法：
比較總數(shù)、一個(gè)一個(gè)比、比最高的、去掉一個(gè)增加一個(gè)、平均數(shù)等，并提出了若干問題與大家進(jìn)行交流。那么，我們今天再對(duì)這個(gè)案例進(jìn)行討論。
關(guān)于這個(gè)案例，我也請(qǐng)教了張思明老師和前面提到的史寧中校長(zhǎng)，我覺得他們的回答也會(huì)給我們一些啟發(fā)。對(duì)于張思明老師的做法，他比較開放，不但讓學(xué)生把這些方法想出來，而且讓孩子把各種方法的結(jié)果都求出來，并討論這些方法分別適用哪些實(shí)際問題，也就是針對(duì)具體情境了。不是說平均數(shù)就一定是最好的，比如說，他舉了這么個(gè)例子，如果孩子認(rèn)為我的方法是求最大數(shù)，那在什么地方有需要。他可能說我們的比賽規(guī)則是比成績(jī)最高的，什么叫兩組好就是誰的成績(jī)最高的話，那么他這個(gè)方法在這個(gè)時(shí)候就是有效的。
史寧中校長(zhǎng)的做法更有意思，他說開始不會(huì)讓學(xué)生馬上討論到底用什么數(shù)來刻劃，而是討論“好”的標(biāo)準(zhǔn)（用什么來衡量那個(gè)組好），因?yàn)槔蠋焼柕膯栴}就是你覺得兩組的成績(jī)誰的更好一些，就首先要討論對(duì)好的理解。然后是根據(jù)對(duì)“好”的標(biāo)準(zhǔn)，來選擇不同的方法，如果大家討論出來好就是一個(gè)組中誰的成績(jī)，那么，第一個(gè)孩子的方法就是合理的。如果“好”的標(biāo)準(zhǔn)是大家整體的水平好，那平均數(shù)就會(huì)是一個(gè)好的方法。
這兩個(gè)老師給我們傳遞了一個(gè)共同的理念，就是剛才提到的在數(shù)據(jù)分析觀念中，有一條是非常重要的，就是沒有絕對(duì)意義上的對(duì)和錯(cuò)，而是有一個(gè)相對(duì)意義上的誰更合理一些，包括平均數(shù)，它可能在刻劃某一類問題中，是比較合理的，但是，在刻劃另外一種問題的時(shí)候不一定是合理的。所以還是回到我們前面提到的問題：這個(gè)時(shí)間值不值？如果您覺得我這節(jié)課就是在講計(jì)算平均數(shù)，我想教師的直接講授就是一個(gè)好的方法。如果您覺得我這節(jié)課在講對(duì)平均數(shù)的理解，那么就要有實(shí)際背景，但也不需要花那節(jié)課那么長(zhǎng)的時(shí)間。但是，如果您覺得平均數(shù)的教學(xué)是放在整個(gè)統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，是培養(yǎng)學(xué)生們一種數(shù)據(jù)分析的觀念，或者說有了一組數(shù)據(jù)以后，應(yīng)該根據(jù)不同的問題去刻劃它，那么這個(gè)討論就是非常有價(jià)值的。顯然我們認(rèn)為首先是在學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)，是在實(shí)現(xiàn)刻畫數(shù)據(jù)的目標(biāo)。
老師可能又說了，那么，平均數(shù)的價(jià)值又是什么呢？其實(shí)，在上面的教學(xué)案例中，一個(gè)一個(gè)比的方法并不公平。仔細(xì)思考，人數(shù)現(xiàn)在差一個(gè)還不是很明顯，假如差的很多的話，舉一個(gè)極端的例子，拿一個(gè)班和一個(gè)組比較，一個(gè)班那個(gè)最高的選擇的余地的就比我一個(gè)組的要大，等于是把你們班的最好的，跟我一個(gè)小組的最好的相比，當(dāng)然也不公平。而平均數(shù)是把所有的信息都利用了，所以我們看到的平均數(shù)的第一個(gè)好處就是它能夠利用數(shù)據(jù)的所有的信息。
平均數(shù)另外一個(gè)好處是計(jì)算起來比較簡(jiǎn)單，有的老師可能覺得挺麻煩的，但是，針對(duì)于信息技術(shù)來說，算起來很容易。
另外，從數(shù)學(xué)角度來說，任何一個(gè)數(shù)都可以代替一組數(shù)據(jù)，但是這個(gè)數(shù)不一定代替的好。好不好，其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)就是希望所有的數(shù)據(jù)跟這個(gè)數(shù)相差的平方的和不要太大，而平均數(shù)是使所有的數(shù)據(jù)跟它的方差最小的。當(dāng)然老師們可能對(duì)方差的概念不熟悉，我們不用去理會(huì)它。在數(shù)學(xué)上，從方差這個(gè)意義上來衡量平均數(shù)是好的，但是你如果不拿方差作為衡量，可能中位數(shù)就會(huì)是最好的。所以從這個(gè)意義上來說，學(xué)習(xí)平均數(shù)是非常重要的一件事情，因此張思明老師說，你看計(jì)算器上為什么都有平均數(shù)啊，就是因?yàn)樗_實(shí)還是比較普遍使用的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。
（二）《標(biāo)準(zhǔn)》和實(shí)驗(yàn)教材中對(duì)于統(tǒng)計(jì)部分的要求
在《標(biāo)準(zhǔn)》中把統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)，定位在重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的過程。統(tǒng)計(jì)的過程就是：提出問題，有了問題以后要收集數(shù)據(jù)，有了數(shù)據(jù)以后要去整理、描述數(shù)據(jù)，描述完了要去分析數(shù)據(jù)，最后做出決策這樣的一個(gè)過程?，F(xiàn)在的實(shí)驗(yàn)教材在這一點(diǎn)上做的都是非常好的，總是使學(xué)生通過一個(gè)實(shí)際問題，來經(jīng)歷這樣一個(gè)過程?？戳藥滋讓?shí)驗(yàn)教材，都是從一年級(jí)就開始滲透統(tǒng)計(jì)的思想、統(tǒng)計(jì)的過程，也說明了大家都非常重視統(tǒng)計(jì)的教學(xué)。
1.在提出問題這一環(huán)節(jié)，在小學(xué)階段，大部分的教材或者都采取由老師或者由教材來提出問題，比如說“咱們班要舉行聯(lián)歡會(huì)了，買什么水果”。學(xué)生通過討論發(fā)現(xiàn)，我要統(tǒng)計(jì)，那么統(tǒng)計(jì)什么呢？一般教材就會(huì)引導(dǎo)學(xué)生統(tǒng)計(jì)，你們班同學(xué)最喜歡吃的水果是什么。隨著年齡的增加，到了高年級(jí)，老師們可以讓學(xué)生自己去思考，要解決什么樣的問題、要收集什么樣的數(shù)據(jù)。
2.在收集數(shù)據(jù)中，幾套教材都是從這么幾個(gè)角度來做的。一個(gè)就是調(diào)查，一個(gè)就是做實(shí)驗(yàn)，一個(gè)就是查找資料。那么查找資料既包括自己去查找資料，也包括去詢問他人?！稑?biāo)準(zhǔn)》也提出，對(duì)這幾個(gè)方法在小學(xué)階段都要有所體驗(yàn)。
3.整理并描述數(shù)據(jù)主要是兩部分。
一部分是分類，對(duì)于分類一般教材都是在一年級(jí)就開始引入。很多老師就提出這樣的問題：分類好像是整理書包、整理房間，跟統(tǒng)計(jì)有什么關(guān)系？實(shí)際上分類是我們整理數(shù)據(jù)的開始。當(dāng)我們面對(duì)一大堆很雜亂無章的數(shù)據(jù)的時(shí)候，很自然的想法就是分分堆，如喜歡這個(gè)的放一堆、喜歡那個(gè)的放一堆，實(shí)際上就是分類。
另外一部分就是統(tǒng)計(jì)圖表的學(xué)習(xí)。這個(gè)部分在教材處理中有所不同，但是有它的共性。比如說對(duì)于統(tǒng)計(jì)表的學(xué)習(xí)，有的教材出現(xiàn)了單式的統(tǒng)計(jì)表，有的出現(xiàn)二聯(lián)（實(shí)際上就是復(fù)式統(tǒng)計(jì)表）。但是，都是強(qiáng)調(diào)鼓勵(lì)學(xué)生能從統(tǒng)計(jì)表中獲取信息。
對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)，《標(biāo)準(zhǔn)》分兩段：1-3年級(jí)就是第一學(xué)段，主要是象形統(tǒng)計(jì)圖、一格代表一個(gè)單位的條形統(tǒng)計(jì)圖。各個(gè)教材在這里設(shè)計(jì)了很多統(tǒng)計(jì)活動(dòng)鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)。到了第二學(xué)段，就要學(xué)習(xí)折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)圖的比較，另外，還要學(xué)習(xí)復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖和復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖。對(duì)于扇形統(tǒng)計(jì)圖，《標(biāo)準(zhǔn)》只要求學(xué)生會(huì)閱讀，不要求學(xué)生自己去獨(dú)立制作。
4.對(duì)于分析數(shù)據(jù)，實(shí)際在教學(xué)中有兩部分。一部分是統(tǒng)計(jì)量的學(xué)習(xí)。小學(xué)階段只要求學(xué)習(xí)刻畫平均水平的統(tǒng)計(jì)量，就是平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。一般教材的處理就是按照《標(biāo)準(zhǔn)》，在第一學(xué)段三年級(jí)引入了平均數(shù)，到了第二學(xué)段就是五年級(jí)左右引入了中位數(shù)和眾數(shù)，并且要求學(xué)生能夠解釋這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的意義是什么、中位數(shù)是什么意思、眾數(shù)是什么意思。
還有一部分就是分析統(tǒng)計(jì)圖所帶來的信息?！稑?biāo)準(zhǔn)》和教材中并沒有明確的說，從哪幾個(gè)角度來分析。一般來說，對(duì)于象形和條形統(tǒng)計(jì)圖一般教材都比較關(guān)注數(shù)據(jù)的比較、最多最少。學(xué)了倍數(shù)以后就比較倍數(shù)，高年級(jí)就比較誰是誰的百分之幾、誰是誰的幾分之幾，討論合計(jì)，然后，還會(huì)討論一些通過這些數(shù)據(jù)你能獲得什么。到了中年級(jí)，學(xué)了一格代表多個(gè)單位的時(shí)候，還要鼓勵(lì)學(xué)生去觀察縱軸上一格代表的到底是幾個(gè)單位。對(duì)于折線統(tǒng)計(jì)圖，一般對(duì)變化趨勢(shì)進(jìn)行分析：什么時(shí)候增加、什么時(shí)候減少，什么時(shí)候增加的快、什么時(shí)候減少的慢，通過這個(gè)變化可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。對(duì)于扇形統(tǒng)計(jì)圖，主要是通過部分占總體的百分比來分析，另外也鼓勵(lì)學(xué)生通過閱讀統(tǒng)計(jì)圖來解決一些問題。
對(duì)于《標(biāo)準(zhǔn)》以及實(shí)驗(yàn)教材的脈絡(luò)，雖然我們分析出各個(gè)學(xué)段的不同，但是老師們還會(huì)感覺到挺不容易分清楚的。對(duì)這個(gè)問題，我們是這么思考的。
（1）確實(shí)需要實(shí)驗(yàn)教材的編寫者也好、我們的教師也好，再進(jìn)一步去研究這個(gè)問題。因?yàn)閷?duì)這部分研究的是不多的，到底在不同年級(jí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)有什么不同。我們共同來努力，所以，提出一個(gè)校內(nèi)研究的課題，如果您對(duì)這個(gè)感興趣的話，你們學(xué)?？梢詠硌芯?。比如說對(duì)于讀圖，我們從低年級(jí)讀圖到中高年級(jí)的讀圖，會(huì)是什么樣的一個(gè)發(fā)展。下面我們還會(huì)討論這個(gè)問題。
（2）我們可能還要思考，確實(shí)統(tǒng)計(jì)跟計(jì)算教學(xué)不大一樣，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)教學(xué)的最主要的目的是培養(yǎng)學(xué)生的一種觀念。培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念，就需要大量的活動(dòng)，老師們能體會(huì)到一種觀念的建立靠講是不行的，你要有數(shù)據(jù)意識(shí)，你就得真的經(jīng)歷這個(gè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的過程。那么，活動(dòng)，有的時(shí)候就很難分清楚一年級(jí)必須活動(dòng)什么、二年級(jí)必須活動(dòng)什么、三年級(jí)必須活動(dòng)什么。所以老師們就覺得重復(fù)，一年級(jí)統(tǒng)計(jì)了水果，二年級(jí)統(tǒng)計(jì)課外活動(dòng)，三年級(jí)統(tǒng)計(jì)的是全班的飲水量，好像沒有什么區(qū)別。所以，提出這么一個(gè)想法，就是老師們總希望在這一節(jié)課中，除了一些很基本的問題，對(duì)一些問題根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)募由罾斫?，我覺得這是可以的。但是，我們一定要思考，對(duì)一個(gè)問題加深理解，除了知識(shí)的增加以外，可能更重要的是一種思想、一種觀念的加深。就是我們不一定非要追求學(xué)生會(huì)了一個(gè)代表一個(gè)單位的統(tǒng)計(jì)圖，就馬上引入一格代表多個(gè)單位的條形統(tǒng)計(jì)圖。而是，從數(shù)據(jù)觀念的角度鼓勵(lì)學(xué)生思考更進(jìn)一步的問題。比如，我們可以鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步思考，這些數(shù)據(jù)還能幫助我們解決什么問題。除了解決剛才討論的身高問題，是不是還可以解決其他的問題？即從思想，以及數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系上去加深學(xué)生的理解。所以，加深，絕對(duì)不僅僅是學(xué)更多的知識(shí)，可以從統(tǒng)計(jì)與實(shí)際問題的聯(lián)系、統(tǒng)計(jì)的價(jià)值、統(tǒng)計(jì)的思想、統(tǒng)計(jì)的意識(shí)去加深。
（三）對(duì)統(tǒng)計(jì)教學(xué)的建議
1.一定要把數(shù)據(jù)意識(shí)或者說是統(tǒng)計(jì)意識(shí)的培養(yǎng)，作為我們小學(xué)教學(xué)中最重要的一個(gè)目標(biāo)
關(guān)鍵要培養(yǎng)學(xué)生能想到用數(shù)據(jù)來處理問題。要發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)意識(shí)最主要的方式就是讓學(xué)生體會(huì)到統(tǒng)計(jì)是有用的，數(shù)據(jù)是有信息的，也就是說統(tǒng)計(jì)能夠幫助人們來做出決策，能夠幫助人們來了解一些情況。怎么來發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)意識(shí)，我們提一些建議：
（1）設(shè)計(jì)問題使學(xué)生體會(huì)到我們需要來收集數(shù)據(jù)，也就是數(shù)據(jù)是有作用的。比如前面我們看到的安華老師的教學(xué)，我覺得這點(diǎn)處理的挺好的。安華老師的一年級(jí)的教學(xué)，不是馬上就進(jìn)行統(tǒng)計(jì)圖的教學(xué)，而是提出這樣的問題，只能播放一部動(dòng)畫片，我們?cè)趺崔k？學(xué)生就想到了，不能光靠我自己的喜好，所以我們需要來收集一些數(shù)據(jù)。這就是對(duì)學(xué)生統(tǒng)計(jì)意識(shí)的培養(yǎng)。這樣的例子老師們都有很多很多，就是鼓勵(lì)學(xué)生意識(shí)到需要來收集數(shù)據(jù)。
（2）分析數(shù)據(jù)能幫助我們做什么?？梢栽跀?shù)據(jù)都已經(jīng)分析完了以后，有一個(gè)反思的過程，就是這些數(shù)據(jù)除了能幫助我們解決剛才提到的問題以外，還能夠幫助我們解決什么問題？下面提供了一個(gè)案例。
【案例1】老師組織大家調(diào)查班級(jí)同學(xué)的身高情況，把數(shù)據(jù)調(diào)查出來以后，進(jìn)行了分析。最后老師問同學(xué)：看到這些身高的數(shù)據(jù)，它們能幫助我們解決什么問題。
生1：我可以了解到我們班同學(xué)的身高情況。我可以知道我自己的身高在班內(nèi)處于什么情況。
生2：我們班有8歲的有9歲的，我今年8歲，看到9歲同學(xué)的身高我可以先預(yù)測(cè)一下我到9歲時(shí)的身高大概多高。
生3：學(xué)校可以根據(jù)我們班的身高情況確定我們課桌椅的高度。
我覺得這個(gè)案例是挺新穎的，就是數(shù)據(jù)收集完了以后有一個(gè)討論，我們除了分析誰高誰矮以外，這些數(shù)據(jù)能幫我們干點(diǎn)什么事？所以有的學(xué)生想到，從自己角度能幫助自己預(yù)測(cè)身高，還有的同學(xué)想到我們的桌椅一年級(jí)就低一些，到了高年級(jí)就高一些，是不是會(huì)跟身高的數(shù)據(jù)有關(guān)系。
（3）老師們可以指導(dǎo)學(xué)生積累一些統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的例子。無論是教材中的例子也好，還是在生活中遇到的例子也好，學(xué)生積累起來，他能看到原來統(tǒng)計(jì)能幫人們干這么多事。無論是買什么水果也好、看什么動(dòng)畫片也好、還是設(shè)計(jì)桌椅也好，都可以用統(tǒng)計(jì)。
（4）我們必須要認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)意識(shí)的培養(yǎng)，絕對(duì)不能僅僅靠課堂教學(xué)。因?yàn)樗鷮?shí)際生活聯(lián)系太緊密了，課堂教學(xué)中往往很難完全的展示一個(gè)統(tǒng)計(jì)的過程，所以老師可以適當(dāng)?shù)拈_展一些實(shí)踐活動(dòng)，將課內(nèi)外結(jié)合起來。
2．在教學(xué)中一定要有意識(shí)的收集學(xué)生感興趣的問題
就像有的老師在前頭所提到的，看起來統(tǒng)計(jì)處處有用，但是我們的教學(xué)素材很貧乏，所以學(xué)生們不感興趣。針對(duì)這個(gè)問題，我們也想提一些建議。
（1）就是要關(guān)注媒體。因?yàn)槊襟w中這么多人，幫助你來收集數(shù)據(jù)，比如，記者會(huì)從方方面面來收集一些大家感興趣的問題，我們從中可以找一些適合于我們學(xué)生的。
（2）現(xiàn)在商場(chǎng)各個(gè)地方都會(huì)設(shè)計(jì)一些摸獎(jiǎng)的一些游戲，我們可以把它做一些適當(dāng)?shù)母膭?dòng)，進(jìn)入到我們的小學(xué)教學(xué)。當(dāng)然教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此有正確認(rèn)識(shí)。
（3）我覺得還有一點(diǎn)是非常重要的，就是適當(dāng)?shù)淖鲆恍┱{(diào)研。有時(shí)候我們成人認(rèn)為學(xué)生感興趣的，不一定是學(xué)生真正感興趣的，而且，這些學(xué)生感興趣的，不一定是那些學(xué)生感興趣的。海淀的五一小學(xué)曾經(jīng)做了一次調(diào)研，他們調(diào)查了各個(gè)年級(jí)的，下面是一年級(jí)的：
案例：設(shè)計(jì)了8個(gè)統(tǒng)計(jì)實(shí)際活動(dòng)的例子：
1）統(tǒng)計(jì)爸爸一周開車次數(shù)；
2）統(tǒng)計(jì)保安敬禮次數(shù)；
3）統(tǒng)計(jì)每天寫作業(yè)時(shí)；
4）統(tǒng)計(jì)作業(yè)本小印章數(shù)量；
5）統(tǒng)計(jì)家里一周扔幾個(gè)塑料袋；
6）統(tǒng)計(jì)放學(xué)后戶外活動(dòng)時(shí)間；
7）統(tǒng)計(jì)一年級(jí)同學(xué)掉牙情況；
8）統(tǒng)計(jì)最愛收看的電視節(jié)目。
調(diào)查了一年級(jí)的五個(gè)班和二年級(jí)的四個(gè)班一共360個(gè)學(xué)生。請(qǐng)找出自己最感興趣的活動(dòng)。
結(jié)果最感興趣的是收看的電視節(jié)目，360人中260人選了，相當(dāng)大的數(shù)量了。第二個(gè)是統(tǒng)計(jì)小印章的數(shù)量。第三個(gè)是統(tǒng)計(jì)爸爸一周開車次數(shù)。這個(gè)調(diào)查就給我們教學(xué)帶來了一些思考和啟發(fā)。比如說最愛收看的電視節(jié)目，那我們就可以在這上面去做一些文章，可以統(tǒng)計(jì)到底最愛收看什么樣的電視節(jié)目，然后還可以適當(dāng)?shù)膯枂枌W(xué)生，你為什么喜歡收看這樣的電視節(jié)目。當(dāng)然，老師有時(shí)候還可以再做一些引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生多收看一些豐富多彩的電視節(jié)目。當(dāng)然，這個(gè)調(diào)查是針對(duì)五一小學(xué)的，換一個(gè)學(xué)校也許并不一樣?？傊私鈱W(xué)生總是為我們進(jìn)行教學(xué)提供了一個(gè)非常好的依據(jù)。這是對(duì)統(tǒng)計(jì)教學(xué)的第二個(gè)建議，就是要真正的了解學(xué)生，選擇學(xué)生感興趣的素材。
3．鼓勵(lì)學(xué)生討論如何收集數(shù)據(jù)
老師們要意識(shí)到數(shù)據(jù)有兩部分，一部分是現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，一部分是需要自己調(diào)查的數(shù)據(jù)。在小學(xué)階段兩個(gè)內(nèi)容應(yīng)該讓孩子都有所體驗(yàn)。有些東西需要我們自己來調(diào)查數(shù)據(jù)，那么常用的收集數(shù)據(jù)方法有哪些呢？包括調(diào)查，包括做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，包括去閱讀資料，還可以去問問他人等等。學(xué)生應(yīng)該對(duì)收集數(shù)據(jù)的方法都有比較豐富的體驗(yàn)，并且根據(jù)問題的需要來選擇合適的方式來獲取數(shù)據(jù)。
各種各樣的研究都表明，在計(jì)劃到底如何來收集數(shù)據(jù)上花時(shí)間是非常值得的。什么叫在計(jì)劃如何在收集數(shù)據(jù)上花時(shí)間？在低年級(jí)可以討論，假設(shè)我們要調(diào)查最喜歡的節(jié)目，怎么來收集數(shù)據(jù)。那么到了一定年齡，可以再討論，我要回答這個(gè)問題，需要收集哪些數(shù)據(jù)？并不是已經(jīng)告訴你需要收集這個(gè)數(shù)據(jù)。
所以，對(duì)收集數(shù)據(jù)的討論，既包括要收集什么樣的數(shù)據(jù)，也包括采用什么樣的方法收集。讓我們回顧前面已經(jīng)提到的安華老師統(tǒng)計(jì)圖教學(xué)的這個(gè)案例。安華老師的課最大的不同，就是學(xué)生舉手出錯(cuò)了以后，不是說把數(shù)據(jù)改改就完了，而是讓學(xué)生討論怎么辦。這個(gè)問題是關(guān)鍵，實(shí)際上就是組織學(xué)生來討論如何來更好的收集數(shù)據(jù)。就是剛才說的在收集數(shù)據(jù)的方法上進(jìn)行討論。
所以，這個(gè)過程雖然長(zhǎng)，但是非常值得的。為什么它值得呢？就是在信息技術(shù)發(fā)達(dá)的今天，對(duì)我們的學(xué)習(xí)提出了很多的思考，就是技術(shù)能做的，也許就沒有原來那么重要了。比如說去畫統(tǒng)計(jì)圖，求很復(fù)雜的平均數(shù)。當(dāng)然，不是說它現(xiàn)在就不重要了，但是，確實(shí)沒有必要再花很長(zhǎng)的時(shí)間，讓學(xué)生去畫很復(fù)雜的數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖，或者是計(jì)算復(fù)雜數(shù)據(jù)的平均數(shù)了。那什么是技術(shù)不能做的呢？就是這組數(shù)據(jù)是怎么來的，怎么來合理的收集數(shù)據(jù)，以及數(shù)據(jù)來了以后，我們?cè)趺慈シ治鰯?shù)據(jù)。這些是技術(shù)不能做的。還是那句話，我們不僅要培養(yǎng)技術(shù)能做的事情，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生做技術(shù)不能做的事情，或者至少兩者應(yīng)該差不多。所以，我覺得再回答前面提到的問題，統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)除了制圖、識(shí)圖以外，還有一個(gè)非常重要的，就是把它放在統(tǒng)計(jì)教學(xué)這個(gè)角度上來說，我們應(yīng)該在收集數(shù)據(jù)的過程中下功夫，我們應(yīng)該在統(tǒng)計(jì)圖有了以后怎么分析數(shù)據(jù)、做出決策中下功夫。當(dāng)然對(duì)于低年級(jí)，并不一定非要討論哪個(gè)最好、哪個(gè)不好，但是，讓他有個(gè)意識(shí)是非常重要的。里我再舉一個(gè)大家比較熟悉的案例，是美國的數(shù)學(xué)教師雜志向全美中小學(xué)數(shù)學(xué)教師推薦的一節(jié)數(shù)學(xué)課。
【案例2】題目很有意思，為什么有的人跑得快，有人跑得慢？有的孩子很有意思，說誰個(gè)子高誰就跑得快。有的孩子就產(chǎn)生懷疑，說不行，我們倆個(gè)子一般高，他比我快。那怎么辦？有的孩子說，可能是跟步頻有關(guān)。有的學(xué)生就說了，需要分是短跑還是長(zhǎng)跑。那么，是不是跟步距、步頻有關(guān)系。怎么來說明這個(gè)問題呢？學(xué)生就要收集數(shù)據(jù)，所以這個(gè)過程進(jìn)入到收集數(shù)據(jù)。
老師沒有就組織學(xué)生收集數(shù)據(jù)，而是引起討論，怎么來收集數(shù)據(jù)呢？要收集什么樣的數(shù)據(jù)呢？假設(shè)說我們研究短跑，他們就很自然的想到了奧運(yùn)會(huì)的實(shí)況，選擇了1984年的洛杉磯奧運(yùn)會(huì)的100米實(shí)況。那現(xiàn)在又有一個(gè)問題，如何收集步距和步頻呢？步距是一步的距離，那怎么測(cè)量？如何記錄步頻？最后學(xué)生討論，步數(shù)我通過放慢動(dòng)作是能夠數(shù)出來的，有了步數(shù)、時(shí)間，距離都是100米，那么平均的步長(zhǎng)就出來了，頻率也就出來了。下面，當(dāng)然他們?nèi)ナ占耍詈蟀l(fā)現(xiàn)，跑的最快那個(gè)人，既不是步頻最高的那個(gè)人，就是步長(zhǎng)最大的人，而是步長(zhǎng)和步頻都比較高的這個(gè)人。
4．鼓勵(lì)學(xué)生用多種手段整理和描述數(shù)據(jù)
整理和分析數(shù)據(jù)主要是兩個(gè)方式。一個(gè)是分類，一個(gè)是統(tǒng)計(jì)圖表。
前面已經(jīng)說過，分類是整理數(shù)據(jù)的開始。當(dāng)我們調(diào)查了一大堆數(shù)據(jù)以后，看起來很雜亂，很自然的想法是把它分分類。當(dāng)然怎么分類，是根據(jù)你的標(biāo)準(zhǔn)了。老師們一定要重視分類的教學(xué)，除了教材上提供了很多、很好的素材以外，我覺得還可以討論一些開放性的問題。比如說將我們班的同學(xué)分成兩類，當(dāng)然不要說分好同學(xué)、壞同學(xué)，比如說分男同學(xué)、女同學(xué)；戴眼鏡不戴眼鏡；個(gè)子高個(gè)子矮的，給個(gè)標(biāo)準(zhǔn)高于多少就算個(gè)子高了，低于的就算矮的。還有很多分類的方式，比如說離家距離100米之內(nèi)的，離家距離100米之外的。這樣既是對(duì)分類的一種學(xué)習(xí)，而且能幫助學(xué)生樹立一個(gè)意識(shí)，將來在調(diào)查我們班同學(xué)的時(shí)候，到底怎么來分組，根據(jù)目標(biāo)有的時(shí)候需要男女來分開，有的時(shí)候需要根據(jù)身高來分開。
對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖表的學(xué)習(xí)，老師們都已經(jīng)有了很多經(jīng)驗(yàn)，就簡(jiǎn)單說一說。一個(gè)就是不要急于的引入常規(guī)的統(tǒng)計(jì)圖表，而是鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方式來描述數(shù)據(jù)。早期經(jīng)驗(yàn)的多樣化，有助于兒童建立樂意創(chuàng)造常規(guī)圖表的興趣，也是一個(gè)基礎(chǔ)。我覺得這一點(diǎn)是非常重要的。第二，就是讓學(xué)生體會(huì)到引入統(tǒng)計(jì)圖表的必要性。比如說要引入條形統(tǒng)計(jì)圖了，很自然原來是一個(gè)一個(gè)實(shí)物往上貼，當(dāng)然不能每次都一個(gè)一個(gè)貼，這個(gè)時(shí)候?qū)W生想到用一個(gè)符號(hào)來表示，可能自然用小方塊來表示，就出現(xiàn)了條形統(tǒng)計(jì)圖。還有一個(gè)就是折線統(tǒng)計(jì)圖，就是條形統(tǒng)計(jì)圖已經(jīng)能夠刻劃這個(gè)大致情況了，但是描述變化情況的時(shí)候還不夠明顯，我們需要折線統(tǒng)計(jì)圖等等。第三，就是在描述數(shù)據(jù)的過程中，使學(xué)生不斷體會(huì)各種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，然后，能根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖來描述數(shù)據(jù)。第四，教學(xué)中能從媒體中找到一些數(shù)據(jù)，讓學(xué)生去讀懂媒體中的統(tǒng)計(jì)圖。
5．鼓勵(lì)學(xué)生分析數(shù)據(jù)，從中獲取信息
我們從兩個(gè)部分來討論，一個(gè)是統(tǒng)計(jì)量，一個(gè)就是關(guān)于從統(tǒng)計(jì)圖表中來分析數(shù)據(jù)。
（1）統(tǒng)計(jì)量
在小學(xué)階段要求的是平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三個(gè)刻劃平均水平的量。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)它們?nèi)吒髯缘奶攸c(diǎn)到底是什么？其實(shí)在前面也已經(jīng)說過平均數(shù)的一個(gè)非常好的優(yōu)點(diǎn)，就是它能夠利用所有數(shù)據(jù)的特征，另外就是比較好算，在數(shù)學(xué)中所有數(shù)跟平均數(shù)的方差是最小的，在數(shù)學(xué)中它確實(shí)是一個(gè)非常常用的統(tǒng)計(jì)量。但是平均數(shù)有一個(gè)不太好的地方，正是因?yàn)樗昧怂袛?shù)據(jù)的信息，容易受極端數(shù)據(jù)的影響，那么這個(gè)時(shí)候，人們就想到了中位數(shù)和眾數(shù)。它們這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)都是能夠避免極端數(shù)據(jù)，但是中位數(shù)也有它的缺點(diǎn)，就是它沒有完全的利用數(shù)據(jù)所反映出來的信息。眾數(shù)也是，眾數(shù)反映的是大多數(shù)人喜歡的東西。如果大多數(shù)人選的這個(gè)東西，跟別的比有大的差異，那么眾數(shù)才有意義。如果一堆數(shù)據(jù)中，眾數(shù)的頻數(shù)跟別的就有很少的差異的話，那么，這個(gè)大多數(shù)就沒有什么太大的意義了。所以從這個(gè)意義上，各個(gè)統(tǒng)計(jì)量有它各自的特征，我們需要根據(jù)實(shí)際問題來選擇合適的統(tǒng)計(jì)量。
老師們可能還需要清楚，除了需要刻劃平均水平，還需要來刻劃數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況。同樣都是5，有的可能是1、3 、5、 7、 9，有的可能是4、4.5、5、5.5、6的平均數(shù)。那么同樣平均數(shù)是5，它們的波動(dòng)情況是不一樣的。這個(gè)時(shí)候我們?cè)趺磥砜虅?？除了要刻劃?shù)據(jù)的平均水平，還要刻劃數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，很自然的想法就是最大值減最小值的極差，數(shù)學(xué)中還有方差，還有標(biāo)準(zhǔn)差，還有其他的，我想老師們回去感興趣的話，可以去看看方差、標(biāo)準(zhǔn)差的含義是什么。
關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的教學(xué)，給老師們提三個(gè)教學(xué)建議。
第一，在引入統(tǒng)計(jì)量的過程中，要拉長(zhǎng)一定的時(shí)間。就像前面王杰老師那個(gè)案例似的，如果你僅僅把定位放在求平均數(shù)上了，講可能是非常有效的方法，但是如果你把目標(biāo)定位在對(duì)數(shù)據(jù)的刻劃上，那么這個(gè)過程就非常重要了。在這個(gè)過程中學(xué)生體會(huì)到平均數(shù)并不是唯一合理的答案，需要根據(jù)不同的背景來選擇合適的統(tǒng)計(jì)量。
第二，就是體會(huì)不同統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)，會(huì)解釋結(jié)果的實(shí)際意義。因?yàn)樵谛W(xué)階段讓學(xué)生自己去選擇統(tǒng)計(jì)量是比較難的。但是，要求學(xué)生能夠解釋一下在這個(gè)問題上平均數(shù)是什么意思，中位數(shù)是什么意思，眾數(shù)是什么意思。
第三，淡化一些繁雜的計(jì)算。在第二學(xué)段鼓勵(lì)學(xué)生用計(jì)算器來處理復(fù)雜的數(shù)據(jù)。
第四，使學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際價(jià)值。以平均數(shù)為例，現(xiàn)在老師們都還比較重視引入平均數(shù)的過程，但是怎么讓學(xué)生去體會(huì)平均數(shù)的價(jià)值，我覺得在這個(gè)問題中，還有可以創(chuàng)造的空間。
我們還是以王杰的那個(gè)教學(xué)片斷為例，我們看一看，當(dāng)學(xué)生討論出來了平均數(shù)以后，會(huì)求了以后，他們是怎么來體會(huì)平均數(shù)的價(jià)值的。
【案例3】體會(huì)平均數(shù)的意義
1．利用節(jié)約用水信息深入理解平均數(shù)的意義。
師：我這也有條信息，我們一起看看。
（1）出示：節(jié)約用水圖。
師：為么要節(jié)約用水？（根據(jù)學(xué)生回答評(píng)價(jià)學(xué)生的節(jié)能意識(shí)）那我們來看看我們國家的淡水情況。
（2）出示：我國淡水資源總量為28000億立方米，僅次于巴西、俄羅斯和加拿大，居世界第四位。
師：找一名同學(xué)讀一讀。看到這條信息你有什么感覺？
（學(xué)生：水并不少，世界100多個(gè)國家，我們排第四名。）
（3）我們?cè)賮砜纯聪旅孢@條信息。出示：我國人均水資源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水資源最貧乏的國家之一。
師：請(qǐng)大家靜靜的讀一讀這條信息，你發(fā)現(xiàn)了什么？
（這里想讓學(xué)生通過名次下降或貧乏再次提起對(duì)平均數(shù)的理解。“貧乏”這個(gè)詞是什么意思？有那么多水，怎么用貧乏來形容我們國家了呢？）
總結(jié)：言之有理，看來同學(xué)們對(duì)平均數(shù)的理解越來越深刻了，光比總量是不行的，還要看我們的人均水資源。好，那對(duì)于我們國家來說，就更應(yīng)該去節(jié)約用水了。
2.出示：兒童乘車免票線“長(zhǎng)個(gè)”了的標(biāo)題。
師：你知道什么叫兒童乘車免票線嗎？沒錯(cuò)，就是這條線，我們來看看。
經(jīng)過市發(fā)改委與相關(guān)部門研究決定，將北京市六歲以下兒童1.1米乘車免票線提高到了1.2米。
師：為什么要提高？
（學(xué)生：孩子們都長(zhǎng)高了。）
師：我們?cè)趺慈ゴ_定這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的呢？
（學(xué)生：我們可以調(diào)查一下。）
師：調(diào)查誰？（這要明確調(diào)查六歲兒童的身高，都調(diào)查還是抽樣調(diào)查，調(diào)查完了怎么辦？）
總結(jié)：我們同學(xué)真了不起，既能準(zhǔn)確理解平均數(shù)的意義，又能想到可操作的辦法。那我們一起看看實(shí)際是怎樣做的。
出示：據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前我市6歲男童身高的平均值為119.3厘米，女童身高平均值為118.7厘米。
師：和你們想的一樣，市發(fā)改委就是參照了我市6歲兒童的平均身高，才確定了免票線的高度。
總結(jié)：看來，這平均數(shù)的作用真是不小，連確定免票線的高度都可以參照它。
3. 師： 那你們能利用平均數(shù)解決問題嗎？幫我判斷一件事情。
出示據(jù)統(tǒng)計(jì)，周一至周五晚高峰時(shí)，平均每小時(shí)需要通過中關(guān)村一號(hào)橋的車輛為1756輛，需要通過西苑橋的車輛965輛。
通過這條信息你可以知道什么？王老師回家要走四環(huán)路，這兩條路都可以上四環(huán)，你們覺得我走哪好？那我走那一定快嗎？為什么？
總結(jié)：同學(xué)們理解的非常到位，平均數(shù)是可以用來作參考，但是它反映的只是一般情況，并不能反映出某種特殊情況。
看了這個(gè)片斷以后，我不知道老師們有什么想法？我覺得對(duì)我挺有啟發(fā)的，首先還是三個(gè)例子，但是跟一般的教學(xué)不大一樣，那是不是王杰老師你談一談，你的這個(gè)設(shè)計(jì)時(shí)的一些想法。
王杰：那么對(duì)于平均數(shù)價(jià)值這個(gè)教學(xué)，我們也是經(jīng)歷了一個(gè)過程。原來，我們?cè)谶M(jìn)行平均數(shù)意義的教學(xué)時(shí)，一般就是讓學(xué)生來談一談平均數(shù)的價(jià)值，或者，經(jīng)常給學(xué)生一些閱讀材料讓學(xué)生談體會(huì)，而學(xué)生沒有經(jīng)歷，也就是簡(jiǎn)單說一說平均數(shù)并不是實(shí)際存在的數(shù)，他只是反映平均水平的數(shù)，學(xué)生并不能真正體會(huì)到統(tǒng)計(jì)量的價(jià)值。所以，我在教學(xué)中是分不同層次給出了三個(gè)不同的信息，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷中理解平均數(shù)的意義，體會(huì)統(tǒng)計(jì)量的價(jià)值。比如：
第一個(gè)信息：對(duì)于節(jié)約用水，我首先問我國為什么要節(jié)約用水，引發(fā)學(xué)生思考，然后出示我國的淡水資源情況，讓學(xué)生體會(huì)我國的淡水總量很多，世界排第四位，最后出示我國的人均水資源情況。在這個(gè)過程中，學(xué)生體會(huì)到了在水資源這個(gè)問題上，我們光看總量不能說明問題，還要看人均水資源，從而體會(huì)了平均數(shù)的意義和價(jià)值。
第二個(gè)信息：兒童乘車免票線問題。這個(gè)環(huán)節(jié)不但能夠讓學(xué)生再次體會(huì)平均數(shù)的價(jià)值，而且通過選擇確定免票線高度的方法，還可以使學(xué)生體會(huì)收集數(shù)據(jù)及其方法的重要性。
第三個(gè)信息：車流量問題，學(xué)生根據(jù)平均數(shù)車流量，幫助老師選擇路線并且進(jìn)行分析，使學(xué)生可以體會(huì)到，平均數(shù)是可以用來做參考的，但它反映的只是一般情況，并不能反映出某種特殊情況，從而體會(huì)平均數(shù)的意義，體會(huì)數(shù)據(jù)的不確定性。
（2）從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息
分析數(shù)據(jù)的第二個(gè)問題，就是能夠從統(tǒng)計(jì)圖表中來獲取信息，這個(gè)也是大家普遍困惑的。有的老師提得很直白，就是說教材老是從一個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中你能獲取哪些信息？你能提出哪些問題？老師就把握不好了，到底學(xué)生提到什么程度就算對(duì)了。下面我們提一些建議。
第一，要看一些統(tǒng)計(jì)圖中一眼能看見到的信息，或者是“表面信息”。包括：?jiǎn)蝹€(gè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的比較（多少、倍數(shù)、百分比等），數(shù)據(jù)的整體變化（最大、最小、平均情況、變化情況、偏差、極端數(shù)據(jù)）。我覺得特別可以鼓勵(lì)學(xué)生看一看極端數(shù)值，去思考這個(gè)極端的數(shù)據(jù)它說明的是什么？因?yàn)闃O端數(shù)據(jù)往往可能會(huì)反映一種很有意思的現(xiàn)象。或者有時(shí)候會(huì)提醒我們這個(gè)極端數(shù)據(jù)的出現(xiàn)是不是在收集數(shù)據(jù)中，有什么問題導(dǎo)致極端數(shù)據(jù)的出現(xiàn)。
第二，對(duì)統(tǒng)計(jì)圖的解釋。就像張思明老師說的數(shù)據(jù)是含著信息的，你光看見了還要去想它、去解釋它、體會(huì)它的作用，這時(shí)候才能稱之為一種信息，所以我們要對(duì)統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行解釋，要思考這個(gè)統(tǒng)計(jì)圖的作用。包括統(tǒng)計(jì)圖的名字和圖標(biāo)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)能否回答開始提出的問題，能否解決其他問題，能否進(jìn)行預(yù)測(cè)，思考為什么數(shù)據(jù)會(huì)呈現(xiàn)這種情況。
第三，選擇。就是能夠根據(jù)不同的問題，來選擇不同的統(tǒng)計(jì)圖。
第四，更進(jìn)一步的層次，就是有一個(gè)評(píng)價(jià)的意識(shí)。不僅要去閱讀圖，還要對(duì)統(tǒng)計(jì)圖中的指標(biāo)、收集數(shù)據(jù)的方法、統(tǒng)計(jì)圖使用的是否合理、得出的結(jié)論是否有道理等進(jìn)行一些評(píng)價(jià)。
當(dāng)然，在小學(xué)階段主要是前兩個(gè)方面，那么后兩個(gè)方面，可以根據(jù)自己學(xué)生的情況，有意識(shí)的加以培養(yǎng)。
為了說明以上的第四點(diǎn)，就是評(píng)價(jià)的意識(shí)。我們可以來看一個(gè)案例，這個(gè)案例也是老師們比較熟悉的案例，有的地方把它叫做“公說公有理，婆說婆有理”。
【案例4】 某工廠有5個(gè)股東，100個(gè)工人。工人的工資總額與工廠的股東總利潤(rùn)見下：
年度 工人工資總額 股東總利潤(rùn)
1990年 10萬元 5萬元
1991年 12.5萬元 7.5萬元
1992年 15萬元 10萬元
該工廠老板根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出了右圖，
并聲稱股東和工人“有福共享、有難同當(dāng)”，
你如何看待他的說法？
觀察上圖，會(huì)發(fā)現(xiàn)工人工資總額91年比90年多了2.5，92年比91年也多了2.5，所以畫出來按橫坐標(biāo)是年份，縱坐標(biāo)是總額的話它是一條直線。那么股東的總利潤(rùn)也是每年增加2.5，也是一條直線。那么這兩條直線顯然傾斜程度是一樣的，是兩條平行線，于是，這個(gè)老板就說了，你看我們是有福共享，有難同當(dāng)，咱們?cè)黾佣际且粯拥?。其?shí)，如果又評(píng)價(jià)意識(shí)的話，學(xué)生就會(huì)意識(shí)到如果僅僅從工資總額的變化來說，可能還不能很好的刻劃，還需要從各個(gè)角度，比如說，都是增加2.5，但起點(diǎn)不一樣；再比如說，還有很自然的想法就是人均情況的比較。所以你要把這兩個(gè)畫出來，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)差距太大了。
左邊這個(gè)圖就是看增長(zhǎng)的百分比，顯然股東利潤(rùn)比工人工資增長(zhǎng)的百分比要高。那么，右邊的畫出人均的情況差別就更大了，不僅僅增長(zhǎng)的情況差別很大，而且絕對(duì)數(shù)上也差別很大。
所以我們?cè)偃ンw會(huì)它這個(gè)題目就公說公有理，婆說婆有理，就是要鼓勵(lì)學(xué)生要從不同的角度來刻劃同樣一種數(shù)據(jù)。對(duì)別人刻劃這個(gè)數(shù)據(jù)的方式合理不合理，要有一種質(zhì)疑的意識(shí)。當(dāng)然，對(duì)于小學(xué)階段，倒不一定讓學(xué)生能夠那么清晰地看出來，但是他要有一種意識(shí)我覺得是非常重要的。
二、概率
（一）什么是概率
概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門學(xué)科。隨機(jī)現(xiàn)象跟我們其他的現(xiàn)象，或者跟確定性現(xiàn)象有什么不同呢？
第一，就是它的不確定性，也就是在相同的條件下做一件事，可能是這個(gè)結(jié)果，也可能是那個(gè)結(jié)果。舉例說，擲一枚硬幣，事先誰也無法預(yù)料，到底是正面朝上還是反面朝上。
第二，就是要能夠重復(fù)做實(shí)驗(yàn)，或者說近似地認(rèn)為它可以重復(fù)做實(shí)驗(yàn)，不是說所有的不確定性都是用概率來解決的。那么重復(fù)做實(shí)驗(yàn)以后，人們發(fā)現(xiàn)每一次雖然無法確定，但是重復(fù)做實(shí)驗(yàn)中，它會(huì)呈現(xiàn)一種穩(wěn)定性。
那么，我們就回顧在上一節(jié)討論中，提到的學(xué)生中提到的幾個(gè)問題，現(xiàn)在我們來看，有一些東西我們是容易解決的，比如說有的學(xué)生提到的：我們猜想的是10個(gè)硬幣中應(yīng)該出現(xiàn)5正5反，結(jié)果卻出現(xiàn)了9正1反這樣的極端情況，這是為什么？現(xiàn)在就很好理解了，因?yàn)樗遣淮_定的，既可以出現(xiàn)9正1反，甚至也可能會(huì)出現(xiàn)0正10反，當(dāng)然這種可能性就比較小，這正是不確定性的一種體會(huì)。所以老師在教學(xué)中就可以往這方面引導(dǎo)：同樣的做10次，為什么我們的結(jié)果會(huì)不一樣。
那么這么不確定，怎么理解正面朝上的概率是1/2呢。我們可以通過技術(shù)來模擬的一個(gè)過程，來體會(huì)頻率穩(wěn)定在概率的意思。首先請(qǐng)老師們先把頻率和概率這兩個(gè)概念分清楚。頻率，是正面朝上的次數(shù)/實(shí)驗(yàn)總次數(shù)，它是不確定的，因?yàn)槟忝看巫龅那闆r不一樣，當(dāng)然正面朝上的次數(shù)可能不一樣，再除以總次數(shù)，可能是不一樣的，頻率是可以變化的。概率是一個(gè)確定的值，有老師喜歡說概率也是不確定的，這是一種混淆，我想慢慢學(xué)習(xí)弄清楚就可以了。
什么叫大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定在概率，并不是說我做了一萬次以后，統(tǒng)計(jì)那時(shí)候的正面朝上的次數(shù)就正好是五千次，并不是這樣。而是說有這么一個(gè)趨勢(shì)，所以老師們?cè)谧龈怕蕦?shí)驗(yàn)中，有一個(gè)小的誤區(qū)，就是現(xiàn)在也累加，但是就只看最后的結(jié)果。我也很費(fèi)勁的做了三百次實(shí)驗(yàn)，算完了以后把最后三百次中的正面朝上和反面朝上拿出來，結(jié)果一個(gè)160多，一個(gè)130多，好像不是1/2，覺得差得還挺多。它不是一定就是1/2，而是說這個(gè)趨勢(shì)，老師們看這個(gè)圖，開始的時(shí)候波動(dòng)可能是比較大的，到后來也有波動(dòng)大的情況但是非常少了，它逐步就穩(wěn)定在這樣的一種情況，即正面朝上的頻率穩(wěn)定在1/2。而且并不是實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多就一定是越接近。有一次聽一節(jié)課，一個(gè)小學(xué)生說的非常有道理，他也是遇到出現(xiàn)的頻率和概率有所差別的情況，他說要多做實(shí)驗(yàn)，如果要多做實(shí)驗(yàn)頻率數(shù)跟我們?cè)瓉聿孪氲母怕氏嗖畹帽容^大的情況就會(huì)非常少。就是這句話，當(dāng)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率和概率相差比較大的可能性，它的極限是等于零的。這個(gè)孩子說的這句話，就是大數(shù)定律。以后老師們感興趣的可以再學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)。所以，對(duì)老師們最直接的一個(gè)建議就是：你如果要體現(xiàn)這個(gè)過程的話，要把它的趨勢(shì)體現(xiàn)出來，就不能只是合計(jì)最后的次數(shù)，而是逐步累計(jì)，20、40……，看頻率的趨勢(shì)。這個(gè)過程很復(fù)雜了，課堂上沒有那么多的時(shí)間畫，那可能我們就需要用信息技術(shù)來幫助我們?nèi)ソ鉀Q這個(gè)問題了。
還可以借助下面的圖體現(xiàn)頻率穩(wěn)定在概率。首先做了10次實(shí)驗(yàn)，4個(gè)小組，算出頻率為0.5，0.3，0.6，0.8，差距挺大的，畫出來以后好像波動(dòng)挺大的，不是0.5（下面的左圖）。然后，又有一個(gè)小組合作以后，又做了100次實(shí)驗(yàn)，也是做了四個(gè)組，最后發(fā)現(xiàn)確實(shí)也有絕對(duì)數(shù)上的偏差，但是頻率一個(gè)是0.55，一個(gè)0.51，一個(gè)0.48，一個(gè)0.52,這個(gè)時(shí)候離0.5，好像波動(dòng)就沒有那么大了，就開始有穩(wěn)定性了。
通過這樣一個(gè)例子的剖析，來幫助我們理解概率。有的老師就會(huì)說了，那你說換一個(gè)角度來說，那么10次中正好出現(xiàn)5次的概率到底大還是不大。我不知道老師們猜想得怎么樣，反正我調(diào)查過老師們的結(jié)果，正好5次正面朝上的概率是0.5猜的老師非常非常多，他把這個(gè)1/2和那個(gè)1/2混在一起了。但是有的老師感覺很好，他說不是那么容易的，可能沒有0.5那么大。其實(shí)，我們?nèi)绻嬲ビ?jì)算的話，那么10次中正好出現(xiàn)5次的概率是25%左右。
令為擲10次硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，那么“擲100次恰出現(xiàn)50次正面”的概率為 。
結(jié)果并不是我們想象中的那么大，那么，怎么來理解1/2，還有什么意義呢？就是它跟別的相比它是最大的。你要把這個(gè)圖畫出來，就是中間那個(gè)5次（正面朝上的次數(shù)是5）是最大的，6次也不少，到0次就很好想象就非常小了。所以，它不是正好5次，但是你可以這么說，10次中在5次附近的概率確實(shí)是挺大的，就是仍然超過50%了。這樣一來，就能理解這個(gè)1/2還是有意義的。換句話說，有時(shí)候偏6了，有的時(shí)候偏4了，但是平均下來是5。
再強(qiáng)調(diào)一下，現(xiàn)在概率教學(xué)的過程中，老師們對(duì)不確定性的認(rèn)識(shí)是有了，經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)果是不確定的。但穩(wěn)定性的體驗(yàn)，我覺得有時(shí)候反而忽略了。在小學(xué)階段，如果要讓學(xué)生們體會(huì)，最主要的是不要馬上定位穩(wěn)定在到底哪個(gè)數(shù)，而是讓學(xué)生體會(huì)到它首先會(huì)穩(wěn)定，至于穩(wěn)定到多少，以后再去學(xué)習(xí)。
（二）對(duì)概率教學(xué)的建議
1. 不斷體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)
如果要講概率的話，這是最大的一個(gè)建議?？渴裁捶绞絹韼椭鷮W(xué)生體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)呢，是不是一定要靠做實(shí)驗(yàn)?zāi)?。還是那句老話，就是教無定法但是教有定規(guī)。很難說就一定要做實(shí)驗(yàn)，或者一定不做實(shí)驗(yàn)。但是，你要想做實(shí)驗(yàn)是為什么，不做實(shí)驗(yàn)是為什么，絕對(duì)不是因?yàn)橐玫揭粋€(gè)分?jǐn)?shù)，而是因?yàn)橐寣W(xué)生體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象。所以，無論你是讓學(xué)生自己舉例也好，還是做實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生體會(huì)也好，還是憑著學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)理性去推理也好，都要去體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)。
隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)說白了還是兩個(gè)事，一個(gè)就是不確定性，一個(gè)就是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候它的穩(wěn)定性。老師們可以設(shè)計(jì)一些活動(dòng)幫助學(xué)生去體會(huì)。舉一個(gè)例子，擲兩個(gè)色子，討論的是兩個(gè)色子朝上的點(diǎn)數(shù)之和，實(shí)際上這是很復(fù)雜的一個(gè)事情，如果我們算出來有36種情況，和是7的可能性是最大的。但是這個(gè)問題，在小學(xué)會(huì)不會(huì)難。實(shí)際上，它不是真讓你去計(jì)算，而是設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，給你一個(gè)橫線，孩子雖然不知道哪一種可能性會(huì)大，但是他知道和最小得到2，最大能得到12，在橫線下面從2標(biāo)到12。給學(xué)生15張方的片，你認(rèn)為誰出現(xiàn)的可能性會(huì)多一些你就往這個(gè)數(shù)多壘幾個(gè)片。比如這兩個(gè)孩子不一樣，這個(gè)孩子就認(rèn)為中間出現(xiàn)的可能性會(huì)大一點(diǎn)，他中間片多一點(diǎn)。這個(gè)小女孩就壘得比較平均，可能覺得差不多。游戲規(guī)則就是，你真的去擲，擲完以后加起來，如果得到7了，你就把7上面那個(gè)片拿走，如果得到了2，你就把2上那個(gè)片拿走，誰把所有的片最早拿走，誰就獲勝。實(shí)際上，學(xué)生誰對(duì)幾個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性預(yù)測(cè)得準(zhǔn)確，誰獲勝的概率就大。當(dāng)然，這也有不確定性，但是多做實(shí)驗(yàn)，有的學(xué)生會(huì)逐漸地感覺到，中間出現(xiàn)的可能性確實(shí)會(huì)大一些，兩邊的可能性會(huì)小一些這樣一個(gè)過程。
無論怎么做，要對(duì)不確定性和穩(wěn)定性進(jìn)行體會(huì)，是我們概率教學(xué)的一個(gè)非常重要的方面。
2．對(duì)于是否做概率實(shí)驗(yàn)的討論
該不該做概率實(shí)驗(yàn)，做概率實(shí)驗(yàn)的價(jià)值是什么？必須明確的一點(diǎn)，對(duì)這個(gè)問題，還有很大的爭(zhēng)論，并不是說我們這一次培訓(xùn)就能把所有的問題都解決了，我只是想給大家一些各個(gè)方面的理由，讓大家自己來做一個(gè)判斷。
（1）不做，或者是少做概率實(shí)驗(yàn)的原因
第一，相信學(xué)生不用做他完全能夠知道。第二，有時(shí)做了反而就混亂了。當(dāng)然還有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，概率本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的東西，是定義出來的東西，他把這個(gè)做實(shí)驗(yàn)歸到統(tǒng)計(jì)的范疇。
（2）做實(shí)驗(yàn)的價(jià)值
我們是比較傾向于做概率實(shí)驗(yàn)的。價(jià)值主要有這么幾個(gè)理由。
第一，就是實(shí)驗(yàn)是現(xiàn)實(shí)生活中獲得對(duì)概率或者估計(jì)概率的一個(gè)很一般的方法。就像剛才舉的意外死亡率，現(xiàn)實(shí)生活中有大量這樣的問題，需要靠統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率。那么，由于學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中比較復(fù)雜的實(shí)際問題難以體會(huì)，所有孩子現(xiàn)在做一些摸色子的可以操作的實(shí)驗(yàn)。總有一天他要進(jìn)入到現(xiàn)實(shí)生活中去，他要知道實(shí)驗(yàn)是可以幫助我們估計(jì)概率的，那他就會(huì)想到這樣一種手段。如果你不做實(shí)驗(yàn)或者少做實(shí)驗(yàn)，他永遠(yuǎn)用理論分析的方法去解決，一旦遇到這個(gè)問題的時(shí)候，他發(fā)現(xiàn)沒有公式，就比較麻煩。
第二，很多老師也都提到了，就是不那么顯然的算的結(jié)果，尤其是與經(jīng)驗(yàn)不符的結(jié)果，學(xué)生是不能信服的。
第三，實(shí)驗(yàn)?zāi)軒椭吻鍖W(xué)生對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。有的孩子會(huì)出現(xiàn)很多錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，我覺得這是非常正常的，我們可以靠實(shí)驗(yàn)來幫助他澄清。比如說華應(yīng)龍老師的一個(gè)教學(xué)片段（二年級(jí)對(duì)于“確定、可能”的認(rèn)識(shí)），在三個(gè)紅球、三個(gè)黃球、三個(gè)白球的這樣一個(gè)盒子中，當(dāng)然球都是均勻的，隨便摸出一個(gè)球。事先，華老師鼓勵(lì)學(xué)生先猜會(huì)摸到什么球，然后再摸。 做完了以后，鼓勵(lì)學(xué)生去反思，就是你每一次都猜得對(duì)嗎？一個(gè)學(xué)生提到：“我想應(yīng)該靠一種規(guī)律，黃的以后就應(yīng)該是白的了。”確實(shí)學(xué)生認(rèn)識(shí)起來有一定的困難，雖然描述一定可能，對(duì)孩子并不是很困難，但是孩子有誤解。當(dāng)然澄清這些誤解，最好的方法就是親自實(shí)驗(yàn)，那你就再摸一次嗎。我想可能這一次實(shí)驗(yàn)孩子也許并不能完全的解除他的疑問，但是不斷地做，他可能對(duì)這種誤解會(huì)漸漸的減少，我想這也是做概率實(shí)驗(yàn)的一個(gè)理由。
所以，現(xiàn)在很多優(yōu)秀老師都采取一種，你先別忙著做實(shí)驗(yàn)，先猜一猜結(jié)果，然后我再去做實(shí)驗(yàn)，然后我再分析這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這樣一來不斷地幫助學(xué)生去澄清一些錯(cuò)誤。這是做概率實(shí)驗(yàn)的一些理由。還是那個(gè)想法，你無論是做也好，還是不做也好，都要注意對(duì)學(xué)生的隨機(jī)觀念的培養(yǎng)。
3．對(duì)做概率實(shí)驗(yàn)的教學(xué)的建議
（1）在做實(shí)驗(yàn)之前先猜測(cè)，然后再實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，幫助學(xué)生逐步地建立正確的概率直覺。同時(shí)，你先讓孩子猜一猜，然后，把結(jié)果寫到黑板上或讓他記在心里，這樣的話他在做實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，他特別的有興趣。
（2）就是在做實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們一定要保證隨機(jī)性，不要偷看，同時(shí)還要保證球要搖勻，然后保證數(shù)據(jù)的真實(shí)。有的老師會(huì)提前提醒學(xué)生，有的老師也較靈活，學(xué)生做實(shí)驗(yàn)的時(shí)候出現(xiàn)問題及時(shí)提醒孩子，這樣，孩子可能印象更深一點(diǎn)。
（3）就是在實(shí)驗(yàn)中，對(duì)數(shù)據(jù)的記錄。有的老師確實(shí)是注意對(duì)原始數(shù)據(jù)的積累，但是，最后出的時(shí)候，就光讓孩子算總數(shù)，原始的數(shù)據(jù)記錄不跟孩子展現(xiàn)，這樣的話，就是學(xué)生一些錯(cuò)誤的概率直覺不能及時(shí)的得到糾正.
（4）緊接著，記錄原始數(shù)據(jù)之后跟孩子一起討論，就像華老師那節(jié)課及時(shí)的討論，再做再討論，然后看看實(shí)驗(yàn)當(dāng)中到底出現(xiàn)什么樣的問題。
（5）老師自己做概率實(shí)驗(yàn)是非常重要的。我們概率的備課要不要分分組，就是每一個(gè)年級(jí)組，可以做一點(diǎn)這樣的實(shí)驗(yàn)，真的去扔一扔。
（6）概率實(shí)驗(yàn)有時(shí)候你估計(jì)的那個(gè)值，你在做實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，讓它頻率相對(duì)往概率那個(gè)地方靠得近的話，就是做的實(shí)驗(yàn)的次數(shù)要比較多，但是課堂就40分鐘很難保證，這樣的話可以借鑒信息技術(shù)的作用，有的時(shí)候可以借助計(jì)算器來計(jì)算。
（7）能夠設(shè)計(jì)一些學(xué)生感興趣的實(shí)驗(yàn)。比如，低年級(jí)我倒覺得可以直接讓他做實(shí)驗(yàn)，因?yàn)閷?duì)他來說很新鮮，體會(huì)了一個(gè)從來跟別的不一樣的東西，還可以摸摸球，擲硬幣，我覺得這倒是可以讓他直接去做實(shí)驗(yàn)。到中年級(jí)的時(shí)候，就可以適當(dāng)設(shè)計(jì)一些有任務(wù)驅(qū)動(dòng)的。比如看過很多中獎(jiǎng)游戲，誰都想中大獎(jiǎng)，那么，我們今天就來中大獎(jiǎng)，這個(gè)中獎(jiǎng)是一個(gè)盒子里裝的摸到黃球你就中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)以后可能就能干嗎，但是呢誰來，誰有資格來摸呢，靠什么來呢？因?yàn)槿嗖荒苊咳巳ッ覀兛赡苁强恳粋€(gè)抓鬮來決定，這個(gè)時(shí)候孩子就特別有興趣，特別想抓鬮就做這個(gè)活動(dòng)，所以他就有這個(gè)任務(wù)驅(qū)動(dòng)，摸到了我就可以去中大獎(jiǎng)了。這也是設(shè)計(jì)很精巧的。還有的老師就設(shè)計(jì)之前，你先預(yù)測(cè)一些結(jié)果，就像張紅老師講的，猜能夠激發(fā)他的興趣。還有的老師反過來進(jìn)入統(tǒng)計(jì)的思想，就是我估計(jì)以下盒子里到底哪種顏色會(huì)多，那么很自然的，通過摸球來估計(jì)，摸上來以后發(fā)現(xiàn)確實(shí)不一樣的時(shí)候，再把盒子打開，再去講這個(gè)顏色比它多，然后摸出一種可能性它比它要大。到了高年級(jí)就可以挑戰(zhàn)一些，我把它叫做挑戰(zhàn)智力。比如說我們可以挑戰(zhàn)，擲硬幣正面朝上這個(gè)可能性是二分之一，這個(gè)我們認(rèn)同了，換一個(gè)問題，那么兩次中一定是有一次正面朝上嗎？我覺得學(xué)生會(huì)有一些分歧，或者說這個(gè)可能性很大嗎？那我們做這個(gè)實(shí)驗(yàn)相當(dāng)于就是不是二分之一去進(jìn)行驗(yàn)證。而反過來通過這個(gè)去體會(huì)它的不確定性和它的規(guī)律性，你做實(shí)驗(yàn)不是為了得到二分之一，二分之一不是靠做實(shí)驗(yàn)得到的，而且說你做實(shí)驗(yàn)是為了體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)。還有的老師提的建議挺好的，他做了很多次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)確實(shí)這個(gè)頻率，不是穩(wěn)定在二分之一，他就由此懷疑硬幣不均勻，我也有這個(gè)懷疑，那我們就來看一看吧，也許這個(gè)硬幣確實(shí)是不均勻，那么我們看到底是正面重還是反面重。假設(shè)正面朝上的可能性大，，還是反面朝上的可能性大，那你要得到這個(gè)結(jié)果，只要靠實(shí)驗(yàn)來得到，我們做很多很多的實(shí)驗(yàn)，那這個(gè)時(shí)候他就很有挑戰(zhàn)性。
當(dāng)然這只是我的一些建議，總而言之，還希望老師們自己去設(shè)計(jì)一些學(xué)生感興趣的實(shí)驗(yàn)。另外，我覺得有老師提到我少做實(shí)驗(yàn)，我覺得也未嘗不可，但是，如果我們少做實(shí)驗(yàn)來講概率，包括來講定量的二分之一，還是以二分之一舉例吧，也希望老師們能在體會(huì)隨機(jī)性上給學(xué)生提出一些問題，讓他來體會(huì)一下?？梢苑催^來鼓勵(lì)學(xué)生來說一下、談一談你是怎么理解二分之一的？這個(gè)時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)，確實(shí)有一些學(xué)生是誤解二分之一的。這個(gè)時(shí)候老師們可以給他提出問題，二分之一，我擲兩次就一定有一次是正面朝上，對(duì)不對(duì)？有的孩子可能會(huì)有感覺是不對(duì)的，有的孩子就有一點(diǎn)含糊了，這個(gè)時(shí)候，我覺得老師可以指導(dǎo)的做一些小實(shí)驗(yàn)，就是老師演示一下，或者找?guī)讉€(gè)孩子來擲一下，一看確實(shí)并不是這樣。來體會(huì)它的不確定性。
那么以上我們就對(duì)概率教學(xué)，跟大家進(jìn)行了一些討論，我想這里頭還有幾點(diǎn)我想再強(qiáng)調(diào)一下，就是隨機(jī)觀念到底是什么？我想是不是兩方面，一個(gè)認(rèn)識(shí)到的它是隨機(jī)的，隨機(jī)性是有可能犯錯(cuò)誤的，注意，我這個(gè)錯(cuò)誤不是說概率上的錯(cuò)誤，而是說你用它進(jìn)行推斷的話，是有可能是錯(cuò)的。另外還是它有一定規(guī)律性的。那么這就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的價(jià)值。所以就回答這樣一個(gè)問題，老師說了，那確實(shí)，你說了半天二分之一也好，90%也好反正是不確定的，學(xué)習(xí)概率到底有什么用？我覺得一定認(rèn)識(shí)到這樣一個(gè)問題，這個(gè)誰也無法知道，確切地知道下一次的情況，這不是概率的錯(cuò)，這是生活中就存在的這種現(xiàn)象。人們通過概率是有了一個(gè)刻劃了，他也沒有辦法告訴你下一次到底會(huì)是什么樣子，否則這樣的話，我們就都去中大獎(jiǎng)了。所以它是為決策提供一些依據(jù)，比如說90% 很有可能或者不是很有可能，90%有可能它不下雨，但是你帶傘，看來還是一個(gè)比較明智的決策。同樣的兩個(gè)產(chǎn)品，在兩個(gè)商店的價(jià)格什么都差不多，外形也都差不多，那一個(gè)次品率高一點(diǎn)，一個(gè)次品率低一點(diǎn)。那也可能，你到那個(gè)次品率高的地方反而買到好的東西了，到次品率低的地方反而買到壞的東西了，但是在沒買之前人們肯定還會(huì)到那個(gè)次品率低的地方去，這是一個(gè)決策。
我國著名概率學(xué)家陳希孺先生曾經(jīng)說過這樣一句話：習(xí)慣于從統(tǒng)計(jì)規(guī)律看問題的人，在思想上不拘執(zhí)一端，他既認(rèn)識(shí)到一種事物從總的方面看有一定的規(guī)律，也承認(rèn)例外。我覺得他這句話說得非常的深刻，把這個(gè)隨機(jī)觀念既有規(guī)律性，也有不確定性說出來了。那么，人們能夠認(rèn)識(shí)不確定性，而又合理利用這個(gè)規(guī)律性就是隨機(jī)觀念，我想，也是在小學(xué)階段要學(xué)習(xí)概率的一個(gè)重要的一個(gè)原因。還是那個(gè)建議，不急于說我們一定要得到二分之一，更重要的是體會(huì)到不確定也有穩(wěn)定。
最后，以著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家C. R. Rao的名言作為結(jié)束語：
在抽象的意義下，
一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)；
在理性的世界里，
所有的判斷都是統(tǒng)計(jì)學(xué)。
