寫在前面
隨著《勾股定理》一章的結(jié)束，意味著八年級上半學(xué)期的學(xué)習(xí)漸入尾聲，我們即將迎來期中復(fù)習(xí)．
這一講，我們從《勾股定理的應(yīng)用》中，選取四道中考的典型小題，來感受折疊的精彩．
一．折疊的本質(zhì)
眾所周知，初中幾何的三大變換是“平移”，“翻折”，“旋轉(zhuǎn)”．蘇科版在八上和八下分別設(shè)置了2個章節(jié)《軸對稱圖形》《中心對稱圖形》，即關(guān)注了其中兩大變換．比如“手拉手”模型，即屬于“中心對稱”中的內(nèi)容，而折疊小題，則是“軸對稱”中的重點．
說折疊的本質(zhì)就是軸對稱，其原因在于，很多題目的解決需要用到軸對稱的性質(zhì)．如翻折前后的兩個圖形成軸對稱，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．而對應(yīng)點的連線，則被折痕（對稱軸）垂直平分．熟悉以上性質(zhì)，可以為我們解題提供很多幫助．
二．基本模型與方法
我們知道，在矩形的折疊中，其一組對邊可以作為平行線，而折痕充當(dāng)了角平分線，這就有了一個常見的基本模型，“平行＋角平分→等腰三角形”．
用這個模型，可以得到相等的邊，再找到一些未知長度的邊所在的直角三角形，這樣，用基本方法——勾股定理建立方程，可以解決大部分問題．
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分析解答與反思
本題不難，甚至可以秒解．
C△ABE＝AB＋AE＋BE
＝AB＋AD＝1＋2＝3
C△C′BF＝C′B＋ C′F＋BF
＝CD＋CF＋BF
＝CD＋CB＝3
C△ABE＋C△C′BF＝3＋3＝6
但本題的價值絕不僅僅于解出答案，我們要學(xué)會反思：
1.倘若讓你用尺規(guī)作圖作出折痕EF，你會嗎？
考慮到B，D關(guān)于EF成軸對稱，
則作對角線BD的中垂線即為所求．
2.題目中有你熟悉的基本模型嗎？
EF平分∠BED，∠1＝∠2，
DE∥ BF，∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3，
BE＝BF，△BEF為等腰三角形．
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分析解答與反思
這道題涉及到求線段FD長，顯然應(yīng)該考慮到構(gòu)造直角三角形，那么第一步輔助線就想到連接EF．接下來看能否在△EDF中用勾股定理．但是EF目前無法表示，只能考慮將DF邊轉(zhuǎn)化，證明能否與GF相等．最終轉(zhuǎn)化到△BCF中建立勾股定理的方程．
由折疊知，AE＝EG，
又∵E為AD中點，則EG＝ED，
在Rt△EFG和Rt△EFD中，
∠1＝∠D＝90°，
三．對應(yīng)點連線很重要
除了利用基本模型解題，我們別忘了“對稱軸將對應(yīng)點連線垂直平分”這一重要性質(zhì)，尤其是將直角三角形折疊時，構(gòu)造的箏形也非常關(guān)鍵．在初二年級段，倘若知道了翻折三角形的兩邊長，即可利用面積法求得對應(yīng)點連線的長度．
此外，若是在翻折過程中，折痕線段的一個端點是中點，還會有其他的直角三角形出現(xiàn)，可以拓寬思路．以下2題均是最近2年討論多次的熱點題，筆者借此機會，再給出適合初二學(xué)生的解法．
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分析與解答
連接BF交AE于G，
則BG＝FG，
易知AB×BE＝BG×AE，
∵E為BC中點，∴BE＝3，
在Rt△ABE中，
AB＝4，BE＝3，
∴AE＝5，
∴BG＝2.4，BF＝4.8．
∵BF＝EF＝CE，
根據(jù)“一個三角形中，
一條邊的中線等于這條邊的一半，
這個三角形是直角三角形”，
易知△BFC為直角三角形，
∠BFC＝90°，則CF＝3.6
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分析與解答
小結(jié)：
以上四道中考折疊小題，既有基本模型，又有基本方法，利用對稱性，可以求對應(yīng)點連線的長度，方法非常多．
而且，隨著知識點學(xué)習(xí)的增加，我們還可以利用相似，三角函數(shù)來解，可謂十分精彩．
例3，例4的更多解法，詳見：
《2017無錫中考數(shù)學(xué)不完全解析（1）——細品填空選擇壓軸題》
本講思考題：
如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.點E是BC邊上一點，連接AE，將∠B沿AE折疊，使點B落在點B'處.當(dāng)△CEB'是直角三角形時，BE的長是_____
答案詳見下期精彩！
END
