在初中三角形麻煩集中體如今“全等”和“類似”2大麻煩上，十分磨練各人的解題才能、思維才能、耐煩與定力。偶然證不出來，急不可耐、恨它恨的牙癢癢。小編此次收拾整頓了全等三角形斷定、性子，最重要的是前面附上了一切證實(shí)全等三角形，包含增加各類輔助線的辦法，仔細(xì)看完這篇文章，包管關(guān)于三角形全等一切的題型你全都做！
一、三角形全等的斷定
1.三組對應(yīng)邊辨別相稱的兩個三角形全等(SSS)。
2.有雙方及其夾角對應(yīng)相稱的兩個三角形全等(SAS)。
3.有兩角及其夾邊對應(yīng)相稱的兩個三角形全等(ASA)。
4.有兩角及一角的對邊對應(yīng)相稱的兩個三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等前提有：斜邊及一直角邊對應(yīng)相稱的兩個直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性子
①全等三角形的對應(yīng)邊相稱；全等三角形的對應(yīng)角相稱。
②全等三角形的周長、面積相稱。
③全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相稱。
④全等三角形的對應(yīng)角的角中分線相稱。
⑤全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相稱。
三、找全等三角形的辦法
(1)能夠從結(jié)論動身，看要證實(shí)相稱的兩條線段（或角）辨別在哪兩個或許全等的三角形中；
(2)能夠從已知前提動身，看已知前提能夠肯定哪兩個三角形相稱；
(3)從前提和結(jié)論綜合思索，看它們能一同肯定哪兩個三角形全等；
(4)若上述辦法均不可，可思索增加輔助線，結(jié)構(gòu)全等三角形。
三角形全等的證實(shí)中包含兩個要素：邊和角。
缺個角的前提：
缺條邊的前提：
四、結(jié)構(gòu)輔助線的經(jīng)常使用辦法
1.關(guān)于角中分線的輔助線
當(dāng)標(biāo)題標(biāo)前提中呈現(xiàn)角中分線時，要想到依據(jù)角中分線的性子結(jié)構(gòu)輔助線。
角中分線具有兩條性子：
①角中分線具有對稱性；
②角中分線上的點(diǎn)到角雙方的間隔相稱。
關(guān)于角中分線經(jīng)常使用的輔助線辦法：
(1)截取構(gòu)全等
以下左圖所示，OC是∠AOB的角中分線，D為OC上一點(diǎn)，F(xiàn)為OB上一點(diǎn)，若在OA上取一點(diǎn)E，使得OE=OF，并銜接DE，則有△OED≌△OFD，從而為我們證實(shí)線段、角相稱發(fā)明了前提。
例：如上右圖所示，AB//CD，BE中分∠ABC，CE中分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB CD。
提醒：在BC上取一點(diǎn)F使得BF=BA，保持EF。
(2)角分線上點(diǎn)向角雙方作垂線構(gòu)全等
采用角中分線上的點(diǎn)到雙方間隔相稱的性子來證實(shí)麻煩。以下左圖所示，過∠AOB的中分線OC上一點(diǎn)D向角雙方OA、OB作垂線，垂足為E、F，銜接DE、DF。
則有：DE=DF，△OED≌△OFD。
例：如上右圖所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求證：∠ADC ∠B=180
(3)作角中分線的垂線結(jié)構(gòu)等腰三角形
以下左圖所示，從角的一邊OB上的一點(diǎn)E作角中分線OC的垂線EF，使之與角的另一邊OA訂交，則截得一個等腰三角形（△OEF），垂足為底邊上的中點(diǎn)D，該角中分線又成為底邊上的中線和高，以采用中位線的性子與等腰三角形的三線合一的性子。
假如標(biāo)題中有垂直于角中分線的線段，則延伸該線段與角的另一邊訂交，從而失掉一個等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂，等腰歸”。
例：如上右圖所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。
求證：DH=（AB-AC）
提醒：延伸CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。麻煩可證。
(4)作平行線結(jié)構(gòu)等腰三角形
作平行線結(jié)構(gòu)等腰三角形分為以下兩種狀況：
①以下左圖所示，過角中分線OC上的一點(diǎn)E作角的一邊OA的平行線DE，從而結(jié)構(gòu)等腰三角形ODE。
②以下右圖所示，經(jīng)過角一邊OB上的點(diǎn)D作角中分線OC的平行線DH與別的一邊AO的反向延伸線訂交于點(diǎn)H，從而結(jié)構(gòu)等腰三角形ODH。
2.由線段和差想到的輔助線
（1）碰到求證一條線段即是另兩條線段之和時，普通辦法是截長補(bǔ)短法：
①截長：在長線段中截取一段即是另兩條中的一條，然后證實(shí)剩下局部即是另一條；
②補(bǔ)短：將一條短線段延伸，延伸局部即是另一條短線段，然后證實(shí)新線段即是長線段。
截長補(bǔ)短法作輔助線。
在△ABC中，AD中分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求證：AB＝AC＋CD。
由于AD是∠BAC的角中分線
以是∠BAD=∠CAD
在AB上作AE=AC
又AD=AD
由SAS得：△EAD≌△CAD
以是∠EDA=∠CDA,ED=CD
又由于∠CDA=∠B ∠BAD, ∠BDA=∠C ∠CAD, ∠C=2∠B
以是∠BDE=∠BDA-∠EDA
=(∠C ∠CAD)-∠CDA
=(2∠B CAD）-（∠B ∠BAD）
=∠B
以是△BED為等腰三角形
以是EB=ED=CD
以是AB=AE EB=AC CD
（2）關(guān)于證實(shí)有關(guān)線段和差的不等式，凡是會聯(lián)絡(luò)到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證實(shí)。
在采用三角形三邊干系證實(shí)線段不等干系時，如間接證不出來，可銜接兩點(diǎn)或廷長某邊組成三角形，使結(jié)論中呈現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再使用三角形三邊的不等干系證實(shí)。
例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
（法1）證實(shí)：將DE雙方延伸辨別交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）
在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2）
在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC
（法2）如圖1-2， 延伸BD交 AC于F，延伸CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：
AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形雙方之和大于第三邊） （1）
GF＋FC＞GE＋CE（同上） （2）
DG＋GE＞DE（同上） （3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
（3）在采用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如間接證不出來時，可銜接兩點(diǎn)或延伸某邊，結(jié)構(gòu)三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的地位上，小角處于這個三角形的內(nèi)角地位上，再采用外角定理：
比方：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC。
剖析：由于∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有間接的聯(lián)絡(luò)，可恰當(dāng)增加輔助線結(jié)構(gòu)新的三角形，使∠BDC處于在外角的地位，∠BAC處于在內(nèi)角的地位。
證法一：延伸BD交AC于點(diǎn)E，這時候∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，
∴∠BDC＞∠BAC
證法二：銜接AD，并延伸交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角
∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC。
留意：采用三角形外角定理證實(shí)不等干系時，凡是將大角放在某三角形的外角地位上，小角放在這個三角形的內(nèi)角地位上，再采用不等式性子證實(shí)。
3.由中點(diǎn)想到的輔助線
在三角形中，假如已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那末開始該當(dāng)聯(lián)想到三角形的中線更加延伸中線及其相干性子（等腰三角形底邊中線性子），然后經(jīng)過探究，找到處理麻煩的辦法。
(1)中線把原三角形分紅兩個面積相稱的小三角形
即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（由于ΔABD與ΔACD是等底同高的）。
例1 如圖2，ΔABC中，AD是中線，延伸AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。
(2)倍長中線
已知中點(diǎn)、中線麻煩應(yīng)想到倍長中線，由中線的性子可知，一條中線將中點(diǎn)所在的線段中分，可失掉一組等邊，經(jīng)過倍長中線又可失掉一組等邊及對頂角，因此能夠失掉一組全等三角形。如圖，延伸AD到E，使得AD=AE，保持BE。
4.其他輔助線做法
(1)延伸已知邊結(jié)構(gòu)三角形
在一些求證三角形麻煩中，延伸某兩條線段（邊）訂交，組成一個封鎖的圖形，可找到更多的相稱干系，有助于麻煩的處理．
例4．如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的中分線．若A點(diǎn)到直線BD的間隔AD為a，求BE的長．
延伸AD、BC交于F,
∵∠DAE ∠AED=90°,∠CBE ∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,
∴∠DAE=∠CBE,
又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,
∴△ACF≌△BCE,
∴BE=AF,
∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,
∴△ABD≌△FBD,
∴AD=FD=1/2AF, AD為a
∴BE=2a
(2)銜接四邊形的對角線，把四邊形的麻煩轉(zhuǎn)化成為三角形來處理。
比方：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC 求證：AB=CD。
剖析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)常識，必需把它轉(zhuǎn)化為三角形全等來處理。
(3)銜接已知點(diǎn)，結(jié)構(gòu)全等三角形
比方：已知：如圖10-1；AC、BD訂交于O點(diǎn)，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。
剖析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只要AB＝DC和對頂角兩個前提，差一個前提，，難以證其全等，只要另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若銜接BC，則△ABC和△DCB全等，以是，證得∠A＝∠D。
(4)取線段中點(diǎn)結(jié)構(gòu)全等三角形
比方：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB。
剖析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，銜接NB，NC，再由SAS正義有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。上面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點(diǎn)M，銜接MN，則由SSS正義有△NBM≌△NCM，以是∠NBC＝∠NCB。麻煩得證。
