| 與風(fēng)車搏斗的人們
為了尋求真理，我們是注定會(huì)經(jīng)歷挫折和失敗的。
—— Denis Diderot
拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)基本問題是流形的拓?fù)浞诸?。從代?shù)拓?fù)浣嵌瓤?，同倫球是比較
簡單的一類流形。Poincar\'e 猜想所問的就是，在這種幾乎是最簡單的情形，代數(shù)
信息能在多大程度上確定拓?fù)湫畔ⅲ窟@是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)家無法回避的問題。不難想象，
像這樣著名且重要的問題會(huì)有很多人有興趣研究，也會(huì)有很多人認(rèn)為自己已經(jīng)解決。
但這些人都是真正嚴(yán)肅的研究者，因?yàn)槊耖g數(shù)學(xué)家恐怕連這個(gè)問題都看不懂。
1934年，J. H. C. Whitehead (并非那位與 Bertrand Russell 齊名的哲學(xué)家
A. N. Whitehead) 在一篇文章中“證明”了這樣一個(gè)結(jié)論：“任何一個(gè)開的三維流
形，如果同倫等價(jià)于三維歐氏空間 R^3，那么就一定同胚于 R^3”。S^3 挖去一個(gè)點(diǎn)
就是 R^3，所以這個(gè)命題能夠推出 Poincar\'e 猜想。不幸 (或者說萬幸？) 的是，
稍后 Whitehead 本人發(fā)現(xiàn)了其中的錯(cuò)誤，并且舉出了一個(gè)反例。(J. H. C. Whitehead
是同倫論的奠基人之一，后來在墨西哥太陽金字塔失足跌死。)
Poincar\'e 猜想有很多等價(jià)的描述，Princeton 的希臘數(shù)學(xué)家 C. D. Papaky-
riakopoulos 曾經(jīng)把它化成一個(gè)純粹的群論問題。Papa...是幾何、拓?fù)漕I(lǐng)域最
高獎(jiǎng)Veblen獎(jiǎng)的首屆獲獎(jiǎng)?wù)?。他研究生涯后期的主要精力就放?Poincar\'e 猜想上。
后來他病入膏肓，便找來三位著名的拓?fù)鋵W(xué)家到病床前，拿出一份手稿，說自己證明
了 Poincar\'e 猜想。其實(shí)那三人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了證明中的一個(gè)明顯錯(cuò)誤，但都沒有捅破，
只是安慰 Papa...說他們會(huì)仔細(xì)看一看這個(gè)證明。隨后不久 Papakyriakopoulos 便
辭世了。
早先給出 Poincar\'e 猜想錯(cuò)誤證明的人很多，Whitehead 和 Papakyriakopoulos
算是其中名氣最大的。當(dāng)然，即使是這些錯(cuò)誤證明，也有其價(jià)值，至少給后人樹了
一塊“此路不通”的牌子；而且很多證明是有其正面意義的。70年代以前關(guān)于 Poin-
car\'e 猜想的研究進(jìn)展在[Hem]一書中有所總結(jié)。
近來來關(guān)于 Poincar\'e 猜想證明，比較出名的是 Po\'enaru 的工作。Po\'enaru
是三維拓?fù)漕I(lǐng)域中相當(dāng)有影響的數(shù)學(xué)家，按王詩宬的說法是一個(gè)“神人”。從上世
紀(jì)九十年代以來，他陸續(xù)寫了一系列文章，提出了一個(gè)證明 Poincar\'e 猜想的綱
領(lǐng)(見[Ga])。經(jīng)過中間一些反復(fù)，最終他宣布已經(jīng)完成了整個(gè)證明。問題是，他寫
的證明加起來超過了一千頁……陳省身對(duì)此的評(píng)論是：“一千頁的證明還不如不證
明。”
其實(shí)一千頁并不算長，——在某些人眼里。1980年左右，群論專家們宣布完成
了有限單群的分類。整個(gè)證明由幾十年間發(fā)表在各種雜志上的上百篇論文組成，總
長度超過15,000頁，其中最長的一篇論文有1,200頁。接下來就有幾個(gè)人致力于整理
出系統(tǒng)的證明，已出版的第一卷有800頁。他們的最終目標(biāo)是一個(gè)3,000頁左右的證
明，這樣才具有一定的可讀性。
審閱證明基本上是一件為她人作嫁衣裳的苦差使。數(shù)學(xué)家有自己的事情要做，
很難花費(fèi)寶貴時(shí)間去閱讀一個(gè)成百上千頁的證明。所以這樣的證明不容易獲得同行
公認(rèn)。一個(gè)著名的例子是 Bieberbach 猜想。1984年，Purdue 大學(xué)的 Louis de
Branges 宣布他解決了這一單葉函數(shù)論里的核心問題，并把手稿寄給十幾位專家審
閱。De Branges 是一位復(fù)分析學(xué)家，但并不屬于單葉函數(shù)論的圈子；他已經(jīng)五十
多歲了，而且名聲不太好，——他曾宣稱自己證明了Riemann假設(shè)；他用的方法是
幾十年前的人就使用過的老方法，在圈內(nèi)人眼中這種方法根本不會(huì)成功……總之，
各種因素都對(duì) de Branges 很不利，使得沒有一位美國數(shù)學(xué)家愿意審閱他那篇385
頁的論文。
好在西方不亮東方亮，世界上還有一種勤勞、勇敢、智慧、熱情的生物，我們
稱之為蘇聯(lián)人。三位蘇聯(lián)同行把 de Branges 請(qǐng)到列寧格勒，開了一個(gè)學(xué)期的討論
班講他的工作。最終蘇聯(lián)人審查通過了 de Branges 的論文，并把證明簡化到只有
15頁，發(fā)表在 Acta Mathematica 上。后來在 Purdue 召開了一個(gè)關(guān)于 Bieberbach
猜想的國際會(huì)議，de Branges 在會(huì)上發(fā)言，一句學(xué)術(shù)的事情也沒講，盡是大罵他的
上司不重視他，不給他加薪，以及抱怨美國同行們有偏見，不理睬他的證明。
但現(xiàn)在 Po\'enaru 的運(yùn)氣顯然沒有 de Branges 那么好，因?yàn)樘K聯(lián)已經(jīng)不存在
了……曾經(jīng)有人試圖閱讀他的證明，結(jié)果找到了一個(gè)錯(cuò)誤。(一千頁的證明里，若是
沒有錯(cuò)誤，那才是怪事。) 后來 Po\'enaru 說他已經(jīng)改正了錯(cuò)誤，但再也沒有人愿
意去看了。
去年在西安舉行了一個(gè)幾何拓?fù)涞膰H會(huì)議，Kirby 曾提議叫 Po\'enaru 作一
次全會(huì)報(bào)告。但組委會(huì)認(rèn)為，一個(gè)小時(shí)內(nèi)講一個(gè)一千頁的證明，不會(huì)對(duì)聽眾有多大
幫助，所以沒有邀請(qǐng)他。也許 Po\'enaru 的想法真的行得通，但我們大概永遠(yuǎn)不會(huì)
知道真相。
2000年，千年之交，Clay 研究所組織數(shù)學(xué)界的一些領(lǐng)袖人物，提出數(shù)學(xué)中的七
個(gè)重要問題，每個(gè)問題都懸賞百萬美元征求解答，Poincar\'e 猜想便是其中之一。
百萬巨賞使 Poincar\'e 猜想獲得了數(shù)學(xué)圈以外的名聲，尤其是新聞界的關(guān)注。從
此，關(guān)于 Poincar\'e 猜想的一點(diǎn)點(diǎn)風(fēng)吹草動(dòng)都會(huì)引起大批媒體的興趣。
很快就有動(dòng)靜了。2002年初，英國 Southampton 大學(xué)的 Martin J. Dunwoody
宣布自己解決了 Poincar\'e 猜想，證明放在網(wǎng)上，只有5頁。這一新聞迅速占據(jù)了
世界各地報(bào)刊的重要位置，甚至上了Nature,Science這樣的正經(jīng)科技期刊。Dunwoody
算是三維拓?fù)淙ψ永锏娜?，六十多歲了。5頁的證明中，如果有錯(cuò)誤，他自己應(yīng)該能
發(fā)現(xiàn)，所以人們覺得他可能會(huì)有些道理。但無論是他本人，還是他文章中所引用、
致謝的人，都不是什么“神人”。就憑這些人能證明 Poincar\'e 猜想？實(shí)在讓人難
以置信。
錯(cuò)誤很快就被人找出來，然后 Dunwoody 修改自己的證明；接下來又找出新的
錯(cuò)誤，又修改……數(shù)易其稿后，論文增加了一個(gè)圖，頁數(shù)增加到6頁，標(biāo)題也由"A
Proof of the Poincar\'e Conjecture" 變成 "A Proof of the Poincar\'e
Conjecture?"。但最終，Dunwoody 不得不承認(rèn)，證明里漏掉了關(guān)鍵的一步。
注：本節(jié)標(biāo)題取自 yyf 的系列文章。
參考文獻(xiàn)：
[Ga] D. Gabai, "Valentin Po\'enaru's program for the Poincar\'e conjecture",
Geometry, topology & physics, 139-166, International Press (1995).
[Hem] J. Hempel, "3-Manifolds", Princeton University Press (1976).
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