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圖論是數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)分支，然而當(dāng)我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中聽(tīng)到圖論這個(gè)詞，往往會(huì)與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，讓人不由自主的感到無(wú)從下手。確實(shí)，在我們從小學(xué)到高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圖論從來(lái)沒(méi)有在課本里出現(xiàn)過(guò)，直到大學(xué)的學(xué)習(xí)，也只有數(shù)學(xué)系的學(xué)生才會(huì)慢慢的接觸到圖論。慚愧的說(shuō)，在進(jìn)入大學(xué)前的我也從來(lái)沒(méi)有任何對(duì)圖論的了解，而當(dāng)我在離散數(shù)學(xué)課上第一次接觸到了圖論，就被它的魅力所折服。我漸漸的發(fā)現(xiàn)，在我們從小到大的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圖論其實(shí)經(jīng)常悄悄的出現(xiàn)?，F(xiàn)在，就讓我用一些有趣的例子，讓大家也感受一下圖論的魅力。

在小的時(shí)候，我們?cè)跀?shù)學(xué)課上經(jīng)常會(huì)遇到一筆畫(huà)的問(wèn)題，如下圖：

圖片來(lái)源：baidu.com

這些一筆畫(huà)問(wèn)題就是使筆尖不離開(kāi)紙面而又不重復(fù)地畫(huà)出一個(gè)圖形，我們?cè)诮?jīng)過(guò)嘗試之后發(fā)現(xiàn)，有一些圖片能輕松的用一筆畫(huà)出，而有一些圖片似乎無(wú)論如何也不能通過(guò)一筆完成。

我們經(jīng)過(guò)不斷地嘗試和總結(jié)，可以漸漸找到一些規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)圖形能否被一筆畫(huà)出似乎和頂點(diǎn)連出的線段的奇偶性有著一些關(guān)系。我們將引出奇數(shù)個(gè)線段的頂點(diǎn)稱作奇點(diǎn)，將引出偶數(shù)個(gè)線段的頂點(diǎn)成為偶點(diǎn)，我們可以觀察出一個(gè)圖形能否被一筆畫(huà)下來(lái)，看的是奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)：當(dāng)一個(gè)圖中奇點(diǎn)的數(shù)量為0或者2個(gè)時(shí)，這個(gè)圖可以被一筆畫(huà)出，反之，這個(gè)圖無(wú)論如何也不能被一筆畫(huà)出。

這樣的一筆畫(huà)問(wèn)題其實(shí)是圖論中非常重要的問(wèn)題。一筆畫(huà)的問(wèn)題起源于十八世紀(jì)“格尼斯堡橋”的問(wèn)題，在這個(gè)問(wèn)題中，我們需要不重復(fù)地走遍七座橋回到出發(fā)點(diǎn)，如下圖：

       對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的研究開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，也就是圖論。在圖論中，我們將其中的點(diǎn)稱作頂點(diǎn)，將連接這些頂點(diǎn)的線成為邊，這些頂點(diǎn)和邊的關(guān)系是我們解決一筆畫(huà)問(wèn)題的關(guān)鍵，通過(guò)圖論的知識(shí)，我們可以證明出之前發(fā)現(xiàn)的一筆畫(huà)的規(guī)律。

與此同時(shí)，讓我們一起來(lái)探討一個(gè)非常有意思的圖論的問(wèn)題。我們已經(jīng)引出了圖論中頂點(diǎn)和邊的概念，我們也知道圖論中的圖是由一些頂點(diǎn)和邊組成的，這些頂點(diǎn)和邊將平面切成了不一樣的區(qū)域。當(dāng)我們一起觀察這些頂點(diǎn)，邊和區(qū)域的數(shù)量時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)一些非常有意思的規(guī)律：我們發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)(V)減去邊數(shù)(E)加上區(qū)域數(shù)(R)的數(shù)量總是一樣的。這個(gè)規(guī)律是由數(shù)學(xué)家歐拉最先提出的，讓我們來(lái)驗(yàn)證一下：

似乎無(wú)論在平面中的圖形無(wú)論是怎么樣的，只要這些頂點(diǎn)和邊是相連的，我們都可以得出結(jié)論：V-E+R = 2。

想必同學(xué)們一定想知道這樣的規(guī)律是否可以被證明出來(lái)，我可以給大家簡(jiǎn)單的介紹一下。這個(gè)規(guī)律的證明思想用到數(shù)學(xué)證明常用的遞歸法思想。

當(dāng)一個(gè)圖只有一個(gè)頂點(diǎn)且沒(méi)有任何邊的時(shí)候，頂點(diǎn)的數(shù)量是1，邊的數(shù)量是0，區(qū)域數(shù)是1，我們可以看到V-E+R = 1-0+1 = 2。當(dāng)我們?cè)黾拥谝粭l邊的時(shí)候，自然也會(huì)增加一個(gè)頂點(diǎn)，然而由于平面中只有一個(gè)頂點(diǎn)，增加一條邊不能將平面切開(kāi)，所以區(qū)域數(shù)不會(huì)改變。

因此，V-E+R仍然是2。當(dāng)我們有n條邊的時(shí)候，增加一條邊會(huì)有兩個(gè)情況，一是從頂點(diǎn)延伸出一條邊，這樣，區(qū)域數(shù)不會(huì)改變，而頂點(diǎn)數(shù)會(huì)增加1。所以當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)增加1且邊數(shù)增加1，在區(qū)域數(shù)沒(méi)有改變的情況下，V-E+R仍然等于2。第二個(gè)情況是這條新的邊鏈接了兩個(gè)頂點(diǎn)，這樣頂點(diǎn)數(shù)不會(huì)改變，但是連接兩個(gè)頂點(diǎn)會(huì)將平面一切兩段，所以就會(huì)增加一個(gè)區(qū)域。

這樣，在增加了一個(gè)邊和一個(gè)區(qū)域的情況下，我們看到V-E+R仍然等于2。通過(guò)遞歸法的思路，我們可以證明出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

有興趣的同學(xué)可以再進(jìn)一步，看看這個(gè)規(guī)律在三維的情況下是否還適用？