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一、單選題

1．如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A，B，D在一條直線上。給出4個(gè)結(jié)論：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等邊三角形。其中正確的是（ ）

A．①，②，③ B．①，②，④

C．①，③，④ D．②，③，④

【答案】C

【解析】

【分析】

由題中條件可得△ABE≌△CBD，得出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得出△BHD≌△BGE，△ABG≌△CHB，再由邊角關(guān)系即可求解題中結(jié)論是否正確，進(jìn)而可得出結(jié)論．

【詳解】

解：①根據(jù)題意可知，AB=BC，BE=BD，∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，∴三角形ABE≌三角形CBD，∴AE=CD；

③∵三角形ABE≌三角形CBD，∴∠EAB=∠BCD，∵∠AGB=∠CGF，

∴∠AFC=∠ABC=60°；

④∵∠ABC=∠EBD=60°，

∴∠CBE=60°，

∵AB=BC，∠EAB=∠BCD，

∴三角形AGB≌三角形CHB，

∴GB=BH，

∴三角形BGH為等邊三角形；

②設(shè)AB⊥FB，則FB⊥AD，易證△ABF≌△DBF，可得AB=BD，顯然與已知條件矛盾，故②錯(cuò)誤；

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．

2．一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為40 cm,以一邊為邊作等邊三角形,這個(gè)等邊三角形周長(zhǎng)為45 cm,那么這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為( )

A．15 cm B．10 cm

C．30 cm或10 cm D．15 cm或10 cm

【答案】D

【解析】

【分析】

此題中沒(méi)有明確指出等邊三角形的邊長(zhǎng)是等腰三角形的底邊還是腰長(zhǎng)，所以我們應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析．先求出等邊三角形的邊長(zhǎng)，再分兩種情況進(jìn)行分析求解．

【詳解】

解：∵等邊三角形周長(zhǎng)為45cm，

∴其邊長(zhǎng)為15cm，即等腰三角形的一邊為15cm，

則：若該邊為腰長(zhǎng)，則底邊為：40-2×15=10cm，

若該邊為底邊，則腰長(zhǎng)為：（40-15）÷2=12.5，

∴等腰三角形的底邊為15cm，10cm．

故選：D．

【點(diǎn)睛】

此題中沒(méi)有明確指出等邊三角形的邊長(zhǎng)是等腰三角形的底邊還是腰長(zhǎng)，所以我們應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析．

3．如圖，在三角形PAB中，PA=PB,D、E、F分別是邊PA，PB，AB上的點(diǎn)，且

AD=BF，BE=AF，若∠DFE=34°，則∠P的度數(shù)為( )

A．112° B．120° C．146° D．150°

【答案】A

考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，掌握等邊對(duì)等角、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

4．用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形拼成的正方形圖案如圖所示，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為9，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，請(qǐng)觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是( )

A．x²＋y²＝49 B．x－y＝3 C．2xy＋9＝49 D．x＋y＝13

【答案】D

5．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連結(jié)CE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BD交CE于點(diǎn)G，連結(jié)BE.下列結(jié)論：①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S_{四邊形BCDE}＝1/2BD·CE；⑤BC²＋DE²＝BE²＋CD².其中正確的結(jié)論有( )

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，AD＝AE，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“邊角邊'證明△ABD和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相

等可得CE＝BD，判斷①正確；根據(jù)全等三角形對(duì)

應(yīng)角相等可得∠ABD＝∠ACE，從而求出∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，從而得到BD⊥CE，根據(jù)四邊形的面積判斷出

④正確；根據(jù)勾股定理表示出

，得到⑤正確；再求出AE∥CD時(shí)，∠ADC＝90°，判斷出②錯(cuò)誤；∠AEC與∠BAE不一定相等判斷出③錯(cuò)誤.

【詳解】

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AC, AD＝AE,

∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°＋∠CAD,

∠CAE＝∠DAE＋∠CAD＝90＋∠CAD

∴∠BAD＝∠CAE

在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAB),

∴CE＝BD，①正確；

∠ABD＝∠ACF

∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°,

在△BCG中，∠BGC＝180°－(∠BCG＋∠CBG)

＝180°－ 90°＝90°

∴BD⊥CE,

∴四邊形ABCD的面積＝

故④正確；

由勾股定理，在Rt△BCG中

由勾股定理，在Rt△DEG中，

在Rt△BGE中，

在Rt△CDG中,

故⑤正確；

只有AE∥CD時(shí)，∠AEC＝∠DCE，

∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝90°

無(wú)法說(shuō)明AE∥CD，故②錯(cuò)誤；

∵△ABD≌△ACE

∴∠ADB＝∠AEC

∵∠AEC與∠AEB相等無(wú)法證明，

∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③錯(cuò)誤；

綜上所述，正的結(jié)論有①④⑤共3個(gè).

故選C.

【點(diǎn)睛】

熟練掌握全等三角形的證明及角與角之間的轉(zhuǎn)化是本題解題的關(guān)鍵.

6．如圖，某小區(qū)有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊AC=4m，BC=3m，考慮到這塊綠地周?chē)€有足夠多的空余部分，于是打算將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以AC為一直角邊的直角三角形，則擴(kuò)充方案共有（ ）

A．2種 B．3種 C．4種 D．5種

【答案】B

【解析】

由于擴(kuò)充所得的等腰三角形腰和底不確定，若設(shè)擴(kuò)充所得的三角形是△ABD，則應(yīng)分為①AB=AD，②AB=BD，③AD=BD，3種情況進(jìn)行討論．

故選：B．

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類(lèi)討論．

二、填空題

7．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是50°，則一個(gè)底角為_(kāi)_____________．

【答案】70^°或20^°

【解析】

【分析】

、首先根據(jù)題意，等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，分兩種情況討論，①如圖一，當(dāng)一腰上的高在三角形內(nèi)部時(shí)，即∠ABD=50°時(shí)，②如圖二，當(dāng)一腰上的高在三角形外部時(shí)，即∠ABD=50°時(shí)；然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分別解答出即可．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，知道等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，有兩種情況，一種是高在三角形內(nèi)部，另一種是高在三角形外部，讀懂題意，是解答本題的關(guān)鍵．

8．如果直角三角形一條直角邊長(zhǎng)為23，斜邊和另一條直角邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度都是整數(shù)，則這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)為_(kāi)________________；

【答案】265

【解析】

【分析】

設(shè)這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，另一條直角邊長(zhǎng)為b.由勾股定理知

，即﹙c－b﹚﹙c＋b﹚＝529＝1×529，又因這個(gè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，可得c－b＝1， c＋b＝529，由此即可求得這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng).

【詳解】

設(shè)這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，另一條直角邊長(zhǎng)為b.

由勾股定理知：

即﹙c－b﹚﹙c＋b﹚＝529＝1×529

∵ 這個(gè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)都是正整數(shù)

∴ c－b＝1， c＋b＝529，

解得：c＝265，b＝264.

答：這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是265.

故答案為：265.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理及平方差公式的應(yīng)用，利用勾股定理及平方差公式求得c－b＝1， c＋b＝529是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

9．在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，則下面三個(gè)結(jié)論：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正確的是_____．

【答案】①②

【解析】

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，和全等三角形的判定，可證Rt△ASP≌Rt△ARP，得AS=AR；∠PAR=∠PAQ，可證PQ∥AR．

【詳解】

解：連接AP，

在Rt△ASP和Rt△ARP中，

PR=PS，PA=PA，

所以Rt△ASP≌Rt△ARP，

所以①AS=AR正確；

因?yàn)锳Q=PQ，

所以∠QAP=∠QPA，

又因?yàn)镽t△ASP≌Rt△ARP，

所以∠PAR=∠PAQ，

于是∠RAP=∠QPA，

所以②PQ∥AR正確；

③△BRP≌△CSP，根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法確定其全等．

故答案為：①②．

【點(diǎn)睛】

此題考查了到角平分線的性質(zhì)（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）及全等三角形的判定和平行線的判定定理；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．

10．在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，則斜邊上的中線長(zhǎng)為_(kāi)___．

【答案】2.5或根號(hào)34/2

11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝3BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面積為12，則△ACF與△BDE的面積之和為_(kāi)_．

【答案】3.

12．已知:如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過(guò)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正確的是________(填序號(hào))

【答案】①②④

13．如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，D點(diǎn)從A出發(fā)以每秒1cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中垂線上時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_(kāi)____秒．

【答案】25/4

14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AC=6，BC=8，則DE長(zhǎng)度的取值范圍是_____．

【答案】3≤DE≤5