數(shù)學，內(nèi)在文化的消解及緣由
不得不承認，越來越多的人開始關(guān)注并認同“數(shù)學是一種文化”這一觀點。然而作為一種推論，既然承認數(shù)學自身是一種文化，那么以傳承數(shù)學為目的的數(shù)學課堂，就當然具有了一種內(nèi)在的文化性。于此種語境之下，再談“用文化潤澤數(shù)學課堂”，是否有些不合邏輯？
問題恰在于此。認同某一事物具有文化性，并不等于這一事物就一定能在所有的境域中彰顯出它的文化屬性來。比方說，“魚”很有營養(yǎng)價值，但糟糕的烹飪方式不僅會破壞其固有的營養(yǎng)價值，甚至還可能使其完全喪失營養(yǎng)、變成有害于健康的食物。
烹飪魚是如此，教學數(shù)學又何嘗不是這樣？事實上，只要稍加辨析便不難發(fā)現(xiàn)，我們論定“數(shù)學是一種文化”，思考的對象是“科學范疇”里的數(shù)學，也即，我們探討的還只是一般意義上的、以“學術(shù)形態(tài)”存在的客觀的數(shù)學科學。此時的數(shù)學，它既是“人類創(chuàng)造活動的結(jié)晶”，同時，“對人的行為、觀念、態(tài)度、精神等又具有重要影響”，無論從廣義還是狹義上看，它都已具備作為一種文化的資格。然而進入學校視野、課堂范疇的數(shù)學，勢必經(jīng)歷了一個從“科學數(shù)學”向“學校數(shù)學”，進而向“教育形態(tài)”的“課堂數(shù)學”的轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換的過程中是否消解了數(shù)學原有的文化屬性，恰是我們深入探討數(shù)學文化時應(yīng)著力關(guān)注的話題。
現(xiàn)實境況不容樂觀。反觀當下的數(shù)學課堂，由于對知識、技巧等工具性價值的過度追逐，數(shù)學原本具有的豐富意蘊日益被單調(diào)、枯燥的數(shù)學符號所替代，并幾乎成為了數(shù)學的全部，這使數(shù)學本該擁有的文化氣質(zhì)一點點被剝落、以致本屬文化范疇的數(shù)學，正漸漸喪失著它的文化性。正是在這一意義上，重申“數(shù)學文化”，呼吁“還數(shù)學以文化之本來面目”，就成為數(shù)學實踐層面迫切需要解決的問題。
數(shù)學的文化消解固然有多方原因，但教師對于數(shù)學不同的認知和理解所帶來的教學行動的偏差卻是重要的原因之一。試想，倘若教師在課堂中只認同數(shù)學是一門技術(shù)，那么習得、模仿、練習、熟練化勢必會成為數(shù)學課堂中的強勢語言。生活在這樣的數(shù)學課堂里，學生如何去觸摸、領(lǐng)略數(shù)學那開闊、豐富、優(yōu)美、甚而是動人心魄的一面？而換一個視角，在我們的課堂中，倘若數(shù)學不再只是數(shù)字、符號、公式、規(guī)則、程序的簡單組合，透過它們，我們可以感受數(shù)學豐富的方法、深邃的思想、高貴的精神和品格，領(lǐng)略數(shù)學發(fā)展進程中的五彩斑斕、多姿多彩，分享數(shù)學前行足跡中的創(chuàng)造、超越及其背后折射出的人類的智慧和人性光芒，此時的數(shù)學，又將以怎樣的姿態(tài)展現(xiàn)在課堂？
如此看來，文化可以在課堂被消解，也同樣可以在課堂被重拾。二者之間，差異恰在于視角的切換。所以我一直堅持，文化應(yīng)該成為數(shù)學課堂理應(yīng)選擇的視角和姿態(tài)。唯有如此，數(shù)學課堂彰顯其文化的本性方有可能。
數(shù)學文化：概念誤讀與意義重建
在實踐和探索的過程中，概念或命題的被誤讀已不是什么新鮮事，數(shù)學文化同樣沒能幸免。如何被誤讀，為何被誤讀，值得我們思考。
首先是概念的窄化。將數(shù)學文化簡單等同于數(shù)學史，以為滲透了數(shù)學史，那就是一堂體現(xiàn)數(shù)學文化的課。應(yīng)該說，數(shù)學史是數(shù)學文化的重要組成部分，但數(shù)學文化還遠不是數(shù)學史能包容和涵蓋的。
其次是概念的泛化。將數(shù)學文化和課堂文化混為一談。課堂上人與人的不斷對話、交往、互動無疑是一種文化現(xiàn)象，人們通常稱之為課堂文化。事實上，不存在掙脫文化現(xiàn)象的課堂行為。然而，這里的“文化”關(guān)涉的是課堂活動本身，而并非指課堂中所承載的數(shù)學內(nèi)容。一個充滿著文化現(xiàn)象的數(shù)學課堂里，傳遞的未必就是帶有豐富文化意蘊的數(shù)學內(nèi)容，這足以表明二者的區(qū)別。不少教師將民主對話、平等交流等都納入數(shù)學文化的領(lǐng)域，這顯然不妥，是對數(shù)學文化的一種泛化，不利于我們認識數(shù)學文化本身，不利于我們準確把握數(shù)學真正的文化價值。
那么，究竟什么才是數(shù)學文化？數(shù)學又擁有怎樣的文化價值呢？此處筆者無意于給出關(guān)于數(shù)學文化的確切定義，倒是更傾向于從這樣一個角度給出自己對數(shù)學文化的理解。作為一種“看不見的文化”，數(shù)學在其發(fā)展過程中，伴隨著數(shù)學知識的發(fā)生、生成、傳播而在特定的數(shù)學共同體內(nèi)積蓄下的對人的發(fā)展具有重要促進和啟迪價值的數(shù)學思考方法、數(shù)學思想觀念及數(shù)學精神品格等，這些都屬于數(shù)學文化。具體而言，數(shù)學的文化價值主要表現(xiàn)在：首先，“數(shù)學是思維的體操”，由于數(shù)學并非對客觀事物或現(xiàn)象量性特點的直接研究，而是通過相對獨立的“模式”的建構(gòu)，因而它有重要的思維訓練功能，對于創(chuàng)造性思維的發(fā)展尤具重要意義。其次，數(shù)學學習需要激情，但更需要理智，需要數(shù)學地思維，因而其對于人類理性精神的養(yǎng)成與發(fā)展具有特別重要的意義。再次，數(shù)學看起來似乎與價值判斷無關(guān)，然而數(shù)學依然具有至高無上的“善”，數(shù)學學習同樣具有獨特的“教化”功能：比如探索過程中的執(zhí)著與堅韌；比如論證過程中的務(wù)實與謹嚴；比如數(shù)學規(guī)則推導過程中的理智與自律；比如數(shù)學創(chuàng)造過程中的開拓與超越，甚至于耐心、責任感、敬業(yè)品質(zhì)、民主精神等。正是這些，見證著數(shù)學更為深沉的文化力量，使數(shù)學可以超越知識本身，找尋到更為樸素、更為豐富，也更為動人的內(nèi)涵。
文化，如何潤澤數(shù)學課堂
“有些數(shù)學課很難體現(xiàn)數(shù)學文化，比如‘數(shù)與代數(shù)’領(lǐng)域的許多內(nèi)容，尤其像計算課……”類似的聲音并不鮮見，我以為，這同樣涉及對數(shù)學文化價值的定位問題。正如前文所言，如果將數(shù)學文化窄化為數(shù)學史，那么，“數(shù)學文化”勢必會成為某些數(shù)學課堂的奢侈品，而在更加普遍、更為一般的數(shù)學課堂里，它必然只是難以登堂入室的“稀客”。反之，對數(shù)學文化的泛化理解，又會帶來這樣的后果：一切皆為文化，也就沒有了文化。
如此看來，教師首先要做的是調(diào)適好自己的數(shù)學觀、數(shù)學文化觀、數(shù)學價值觀，這是文化能否潤澤課堂的重要前提。唯有澄清了認識，實踐才不至于迷失方向。至于如何澄清，那就涉及閱讀與積累的問題了。比如，適當閱讀一些關(guān)于數(shù)學文化領(lǐng)域的書籍、資料等，廓清自己對數(shù)學文化的理解。再如，可以涉獵一些關(guān)于數(shù)學歷史典故、趣聞軼事等，必要時，還可以了解一些高等數(shù)學方面的內(nèi)容、思想、方法，這對于打開自己的數(shù)學視野不失為一種可行的路徑。
具體的課堂實踐，我努力從數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)則、數(shù)學思想方法及情感態(tài)度價值觀四個方面切入，試圖以更為日?；?、更具涵蓋性的數(shù)學內(nèi)容和更加樸素的教學實踐表達對數(shù)學文化的理解，追求數(shù)學文化的教育價值。
1．數(shù)學概念，在“頭腦創(chuàng)造”中還原生命活力。
即便在“學校數(shù)學”的范疇里，概念通常也是以一種冷冰冰的姿態(tài)呈現(xiàn)在教材或者課堂上。但我們應(yīng)明白，任何數(shù)學概念的形成、發(fā)展、生成，都經(jīng)歷了數(shù)學家無數(shù)的觀察、分析、猜測、實驗、判斷、辨析、調(diào)整、優(yōu)化等一系列數(shù)學思維活動。由此想見，即使是靜態(tài)的數(shù)學概念，其必沉淀下豐富的數(shù)學內(nèi)涵、數(shù)學思考、數(shù)學觀念。如果課堂僅僅停留于對數(shù)學概念的被動認識、理解和傳遞上，那么內(nèi)涵于“冰冷的美麗”背后的這些“火熱的思考”將無法為學生所觸及、所分享，數(shù)學概念“可能”的文化價值也無法成為“現(xiàn)實”力量。數(shù)學課堂，恰恰需要在這兒做一些工作。
比如“認識乘法”，當學生已經(jīng)感受到用“2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2”表示“9個2相加”比較麻煩時，教師直接告知乘法算式“2×9”是一種方式，引導學生自己想辦法去“創(chuàng)造”一種新的算式表示“9個2相加”也是一種方式。但后一種方式更加充滿挑戰(zhàn)，也預示著更多生成的可能。在我的課堂里，有學生選擇了“2＋2＋……2（9）”，有學生選擇了“2＋2（9）”，有學生選擇了“29”，在教師的引導和點撥下，又有學生選擇了“2·9”或者“2★9”等。靜態(tài)、冰冷的乘法概念在這一刻綻放了絢麗的光芒。可以想見，這些看似不太科學、不夠準確的“乘法”表達形式背后，折射出了學生多少生動、活潑的數(shù)學思考，比如觀察、概括、想像、推理、優(yōu)化、調(diào)整、創(chuàng)造，而這恰恰正是數(shù)學的“文化力量”。
再如認識“長方體的長、寬、高”，作為規(guī)定性知識，直接告知未嘗不可。然而，倘若引導學生作這樣的思考：如果將長方體12條棱中擦掉1條，你還能想像出這個長方體的大小嗎？如果擦掉2條、3條……呢？試一試，看至少留下幾條棱，才能確保想像出長方體的大??？當學生在經(jīng)歷嘗試、探索、操作、優(yōu)化等數(shù)學活動后不約而同地選擇了這樣三條棱（如右）時，規(guī)定性的數(shù)學常識“長、寬、高”在這一刻被“活化”了，并被學生生動、深刻地予以建構(gòu)。我以為，像這樣的“頭腦創(chuàng)造”可以還原數(shù)學概念的內(nèi)在生命力量，相對于概念的授受而言，其文化價值顯然更大。
2．數(shù)學規(guī)則，在充滿張力的數(shù)學思考中綻放理性之美。
和數(shù)學概念一樣，對數(shù)學規(guī)則的學習同樣面臨著一個“冰冷美麗”和“火熱思考”之間的抉擇和轉(zhuǎn)換。處理不當，規(guī)則學習會誘導學生陷入機械記憶、單純模仿、反復操練的窠臼。如何將學生置身于規(guī)則發(fā)生、發(fā)展、形成的生動過程，引導他們親歷觀察、猜想、驗證、建模、應(yīng)用等數(shù)學活動，進而獲得一種更有力度、充滿張力的數(shù)學思考以及觸及心靈的精神愉悅，這是我在課堂教學中一直關(guān)注并努力實踐的問題。
比如教學“筆算兩位數(shù)加兩位數(shù)（進位加）”時，“從個位加起，滿十進一”是繞不開的計算規(guī)則。在成人看來，“從個位加起”應(yīng)是一件再自然不過的事，但學生究竟會如何理解、建構(gòu)這一規(guī)則呢？教學時，我放手讓學生自己探索24＋18的筆算方法，沒想到，竟有不少學生選擇了從十位加起（事實上，要合并兩堆小棒，我們通常不也是先數(shù)數(shù)一共有多少捆，然后再將零散的小棒滿十根一捆，最后得出結(jié)果的嗎），過程如下：
24
?。?font face="Times New Roman">18
432(注：3劃去)
面對這一狀況，草率地否定這一思考顯然不夠理智，急于糾正更顯得缺乏智慧，還是讓他們自己在比較中去發(fā)現(xiàn)、去感悟吧。結(jié)果，正是這樣一份理解和從容，不但讓他們在兩種不同計算規(guī)則的比較中深化了對“從個位加起”的合理性認知，同時也讓大家深刻地感受到了計算規(guī)則豐富和確定的辯證統(tǒng)一，體驗到了規(guī)則生成過程中豐富的數(shù)學思考。
此外，“滿十進一”也是數(shù)學中重要的規(guī)則之一。教學時，我沒有僅僅停留于“告訴”，而是在學生認識“十進制”后，進一步拓展他們的視野，給他們介紹了關(guān)于五進制、七進制、十二進制的知識，并引導他們思考諸如“不同的進制之間有什么共同的地方”、“十進制之所以被廣泛應(yīng)用，可能的原因是什么”、“如果將十進制改為七進制，對已有的數(shù)會產(chǎn)生怎樣的影響”等問題。或許這樣的思考對于學生鞏固或強化十進制并無太大幫助，然而正是有了這樣的適度開掘，學生的視野開闊了，尤其是，數(shù)學發(fā)展過程的多元化，數(shù)學思考的多樣性，數(shù)學發(fā)展過程中所展現(xiàn)出的無窮智慧等，漸漸沉積為學生的內(nèi)在涵養(yǎng)，成為一種文化積淀。
3．方法、策略和思想的有效滲透與主題實踐。
離開學校后，真正能留存于個體腦海中的具體數(shù)學知識、技能往往很少，但數(shù)學方法、策略、思想?yún)s常常以更為內(nèi)斂、潛在的方式沉積于學生內(nèi)心深處，成為他們進行數(shù)學思考的重要支撐。這是數(shù)學文化價值集中體現(xiàn)的又一重要方面。
較之于知識、技能而言，方法、思想和策略更為內(nèi)隱，常潛伏于許多看似普通的數(shù)學知識、數(shù)學技能的學習過程中，需要教師敏銳地予以捕捉、判斷、放大、外化，并在課堂中予以傳遞。
如教學“認識分數(shù)”時，面對如下問題“在括號里填上合適的分數(shù)”（見下圖），我有意將后兩幅圖中的等分線隱去，使這一內(nèi)容誘導出了更多的數(shù)學內(nèi)涵。
其中有估計意識的培養(yǎng)（估計后兩幅圖中涂色部分占整體的幾分之一）、有思維策略的綜合應(yīng)用（對第三幅圖的估計）、有極限思想的滲透（引導學生想象并感受：如果繼續(xù)往下平均分，份數(shù)越多，表示每一份的分數(shù)會怎樣）等。樸素的內(nèi)容完全可以承載豐厚的數(shù)學內(nèi)涵，每一堂課，我們都可以作出這樣的思考。
此外，我還結(jié)合具體數(shù)學內(nèi)容進行“數(shù)學思維方法”或“問題解決策略”的主題性教學實踐（義務(wù)教育課程標準蘇教版小學數(shù)學教材將“解題策略”作為具體板塊進行教學，比如“綜合與分析”、“畫圖與列表”、“倒推”、“假設(shè)”、“枚舉”、“轉(zhuǎn)化”等），效果也很好。
4．挖掘數(shù)學內(nèi)容中的豐富情感、態(tài)度和價值觀。
在更多課堂，一句“使學生感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，體驗數(shù)學的應(yīng)用價值”，往往便將數(shù)學學習中原本更為豐富、多元、立體的情感、態(tài)度和價值觀掩蓋。事實上，數(shù)學可以給予個體情感、態(tài)度、價值觀方面的影響遠不止于此，前文第二小節(jié)已有描述，此處不贅。具體的實踐過程中，我認為應(yīng)注意兩個問題。
首先是如何正確對待數(shù)學史料的問題。歷史往往沉淀下許多值得流傳的史實與價值觀念。我們不能僅僅停留于對史實的介紹上，而應(yīng)引導學生透過史實，觸摸到史實背后的價值和觀念，使其構(gòu)成一種更有教育意義的積極影響。如祖沖之是中國古代研究圓周率的驕傲，但僅到此為止，并進行膚淺的愛國主義教育是不夠的。他在研究過程中如何“借助正多邊形周長研究圓周長”的數(shù)學思想和智慧；他不滿足于既有結(jié)論，不斷超越、執(zhí)著奮進的探索精神等，更應(yīng)該透過課堂浸潤到學生的內(nèi)心深處。我在教學時，將這一段數(shù)學歷史有機融入到具體的周長公式的探索過程中來，學生的感受更豐富了，認識也更全面了。此外，我還適時地介紹了我國古代數(shù)學的領(lǐng)先與現(xiàn)代數(shù)學的落后，并給學生分析造成這一后果的內(nèi)在原因，深刻的民族尊嚴感和為中華數(shù)學之崛起而奮斗的決心在學生心中升騰。
轉(zhuǎn)自《人民教育》張齊華
