基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)
1：勾股定理
直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要點(diǎn)詮釋：
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
要點(diǎn)詮釋：
勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：
（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；
（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則△ABC為銳角三角形）。
3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系
區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；
聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。
4：互逆命題的概念
如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。
5：勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是
①圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變
②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理
規(guī)律方法指導(dǎo)
1．勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。
3．勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解．
我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）
重要題型：
題型一：利用勾股定理進(jìn)行線段計(jì)算
如果單獨(dú)考查勾股定理，通常是給我們送分的，非常簡(jiǎn)單，我們只有熟記勾股定理的公式、常見(jiàn)的勾股數(shù)，以及常見(jiàn)的特殊Rt△的三邊比例，即可以輕松解出題目。
【例1】一駕2.5米長(zhǎng)的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部離建筑物0.7米，如果梯子的頂部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多遠(yuǎn)（其中梯子從AB位置滑到CD位置）？
【分析】
本題是常見(jiàn)的梯子滑動(dòng)問(wèn)題，是勾股定理結(jié)合實(shí)際問(wèn)題產(chǎn)生的題型。英對(duì)實(shí)際問(wèn)題，我們需要實(shí)際問(wèn)題抽象成簡(jiǎn)單的幾何圖形，再利用勾股定理解答。
題目要求梯子的底部滑出多遠(yuǎn)，就要求梯子原先頂部的高度AO，且三角形AOB，三角形COD均為直角三角形．可以運(yùn)用勾股定理求解．
解：在直角三角形AOB中，
根據(jù)勾股定理AB2=AO2+OB2，可以求得：
OA= =2.4米，
現(xiàn)梯子的頂部滑下0.4米，即OC=2.4-0.4=2米，
且CD=AB=2.5米，
所以在直角三角形COD中，
即DO==1.5米，
所以梯子的底部向外滑出的距離為1.5米-0.7米=0.8米．
答：梯子的底部向外滑出的距離為0.8米．
題型二：勾股定理的證明過(guò)程
勾股定理的證明過(guò)程同樣是勾股定理的一個(gè)?？键c(diǎn)。因此我們同樣要熟知勾股定的常見(jiàn)證明過(guò)程。這個(gè)需要同學(xué)們查看課本，回憶整個(gè)證明過(guò)程。下面給出常見(jiàn)的考題類型。
【例2】《勾股圓方圖》是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖（1））．設(shè)每個(gè)直角三角形中較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，斜邊為c。
（1）利用圖（1）面積的不同表示方法驗(yàn)證勾股定理．
（2）實(shí)際上還有很多代數(shù)恒等式也可用這種方法說(shuō)明其正確性．試寫出圖（2）所表示的代數(shù)恒等式：（ ）；
（3）如果圖（1）大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求（a+b）2的值．
【分析】
（1）如圖（1），根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積=大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；
（2）5個(gè)矩形，長(zhǎng)寬分別為x，y；兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為y的正方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，可以看成一個(gè)長(zhǎng)寬為x+2y，2x+y的矩形；
（3）利用（1）的結(jié)論進(jìn)行解答．
解：（1）圖（1）中的大正方形的面積可以表示為c2，也可表示為（b-a）2+4×ab
∴（b-a）2+4×ab=c2
化簡(jiǎn)得b2-2ab+b2+2ab=c2
∴當(dāng)∠C=90°時(shí)，a2+b2=c2；
（2）（x+y）（x+2y）=x2+3xy+2y2
（3）依題意得a2+b2＝c2＝13 (b?a)2＝1 則2ab=12
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25，即（a+b）2=25．
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