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全國2010年1月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)試題

課程代碼：02198

說明：本卷中，A^T表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，α^T表示向量α的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，A^-1表示方陣A的逆矩陣，R（A）表示矩陣A的秩.

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1.設(shè)行列式 （      ）

A.                                                             B.1

C.2                                                              D.

2.設(shè)A，B，C為同階可逆方陣，則（ABC）^-1=（      ）

A. A^-1B^-1C^-1                                                  B. C^-1B^-1A^-1

C. C^-1A^-1B^-1                                                  D. A^-1C^-1B^-1

3.設(shè)α₁，α₂，α₃，α₄是4維列向量，矩陣A=（α₁，α₂，α₃，α₄），如果|A|=2，則|-2A|=（      ）

A.-32                                                           B.-4

C.4                                                              D.32

4.設(shè)方陣A滿足A⁵=E，則必有（      ）

A.A=E                                                         B.A=-E

C.|A|=1                                                        D.|A|=-1

5.設(shè)α₁，α₂，α₃，α₄ 是三維實向量，則（      ）

A. α₁，α₂，α₃，α₄一定線性無關(guān)          B. α₁一定可由α₂，α₃，α₄線性表出

C. α₁，α₂，α₃，α₄一定線性相關(guān)          D. α₁，α₂，α₃一定線性無關(guān)

6.設(shè)A是4×6矩陣，R（A）=2，則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù)是（      ）

A.1                                                              B.2

C.3                                                              D.4

7.設(shè)A= ，則以下向量中是A的特征向量的是（      ）

A.（1，1，1）^T                                           B.（1，1，3）^T

C.（1，1，0）^T                                           D.（1，0，-3）^T

8.設(shè)矩陣A= 的三個特征值分別為λ₁，λ₂，λ₃，則λ₁+λ₂+λ₃ = （      ）

A.4                                                              B.5

C.6                                                              D.7

9.三元二次型f （x₁，x₂，x₃）= 的矩陣為（      ）

A.                                                B.

C.                                                D.

10.設(shè)矩陣A= 是正定矩陣，則a滿足（      ）

A.a<2                                                          B.a=2

C.a=6                                                          D.a>6

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

11.行列式 =_________.

12.設(shè)方陣A滿足A³-2A+E=0，則（A²-2E）^-1=_________.

13.設(shè)A= ，則A^-1=_________.

14.設(shè)α=（1，1，-1），β=（-2，1，0），γ=（-1，-2，1），則3α-β+5γ=_________.

15.實數(shù)向量空間V={（x₁,x₂,x₃）|x₁+x₂+x₃=0}的維數(shù)是_________.

16.設(shè)線性方程組 有無窮多個解，則a=_________.

17.設(shè)A是m×n實矩陣，若R（A^TA）=5，則R（A）=_________.

18.設(shè)n階矩陣A有一個特征值3，則|-3E+A|=_________.

19.設(shè)向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α與β正交，則a=_________.

20.二次型 的秩為_________.

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21．計算行列式D= .

22.設(shè)A= ，判斷A是否可逆，若可逆，求其逆矩陣A^-1.

23.設(shè)向量組α₁=（1，2，3，6），α₂=（1，-1，2，4），α₃=（-1，1，-2，-8），α₄=（1，2，3，2）.

（1）求該向量組的一個最大線性無關(guān)組；

（2）將其余向量表示為該最大線性無關(guān)組的線性組合.

24.求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系及其結(jié)構(gòu)解.

25.設(shè)矩陣A= ，求可逆方陣P，使P^-1AP為對角矩陣.

26.已知二次型 的秩為2，求參數(shù)c.

四、證明題（本大題6分）

27．設(shè)方陣A與方陣B相似，證明：對任意正整數(shù)m，A^m與B^m相似.