摘自《機(jī)械故障診斷理論與方法》
希爾伯特-黃變換（Hilbert-HuangTransform）是由N.E.Huang等人與1998年提出的一種非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的分析處理方法。這種方法主要由經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夂拖柌刈V分析兩個(gè)理論部分構(gòu)成。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸饪梢詫⑷我庑盘?hào)分解為一系列固有模式函數(shù)的集合；固有模式函數(shù)經(jīng)過希爾伯特譜分析，可以得到瞬時(shí)頻率。一個(gè)非線性、非平穩(wěn)時(shí)間序列經(jīng)過希爾伯特黃變換，最終表示成為幅值（能量）的時(shí)頻譜圖。本章首先介紹了希爾伯特-黃變換涉及到的瞬時(shí)頻率、固有模式函數(shù)的概念，然后介紹了希爾伯特-黃變換的理論和兩個(gè)主要步驟經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥mpiricalMode Decomposition）和希爾伯特譜分析（Hilbert SpectralAnalysis）。通過典型的機(jī)械信號(hào)和實(shí)際機(jī)械信號(hào)分析，介紹了希爾伯特-黃變換的應(yīng)用。
6.1 希爾伯特-黃變換中的基本概念
傳統(tǒng)的傅里葉變換受到以下條件的限制：一是系統(tǒng)必須是線性的；二是數(shù)據(jù)必須具有嚴(yán)格的周期性或平穩(wěn)性。否則得到的譜圖幾乎不具有實(shí)際的物理意義。與傳統(tǒng)的全局傅里葉變換不同，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馐腔跀?shù)據(jù)自身的局部特征時(shí)間尺度進(jìn)行分解，所以它可以高效率、自適應(yīng)地分解非線性、非平穩(wěn)信號(hào)。分解得到的固有模式函數(shù)經(jīng)過希爾伯特變換，可以賦予瞬時(shí)頻率合理的意義與求法，進(jìn)而表征信號(hào)的時(shí)頻特性。
在具體論述希爾伯特-黃變換之前，首先有必要討論其中的兩個(gè)基本概念：一個(gè)是瞬時(shí)頻率的概念；另一個(gè)是固有模式函數(shù)的概念。固有模式函數(shù)時(shí)希爾伯特-黃變換的基礎(chǔ)，只有對固有模式函數(shù)進(jìn)行希爾伯特變換，得到的時(shí)頻譜圖才具有明確的物理意義。
6.1.1 瞬時(shí)頻率
瞬時(shí)頻率是物理現(xiàn)象中比較直觀的概念，音調(diào)變化著的聲音和許多非周期性變化的現(xiàn)象都體現(xiàn)了它的存在。同樣，在機(jī)械信號(hào)中也存在大量的非平穩(wěn)信號(hào)，比如轉(zhuǎn)子啟動(dòng)信號(hào)、故障齒輪調(diào)頻信號(hào)等等。如果用常規(guī)的傅里葉譜對他們進(jìn)行將不能得到令人滿意的結(jié)果，而瞬時(shí)頻率是描述非平穩(wěn)信號(hào)的一個(gè)重要參數(shù)，利用瞬時(shí)頻率的概念對它們進(jìn)行處理會(huì)得到更好的解釋。
瞬時(shí)頻率的存在頗有爭議，人們接受瞬時(shí)頻率的概念比較困難的原因有兩個(gè)
（1）傅里葉譜的影響深刻，但實(shí)際上對于一個(gè)頻率隨著時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號(hào)，這種定義沒有實(shí)際意義。
（2）瞬時(shí)頻率沒有唯一的定義方法，然而當(dāng)引入希爾伯特變換進(jìn)而將數(shù)據(jù)解析化以后，這個(gè)問題得到了很好的解決。
任意一個(gè)時(shí)間序列g(shù)(t)的希爾伯特變換\(\hat g(t)\)，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式是：
\(\hat g(t) =\frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{\infty}\frac{g(\tau)}{t - \tau}d\tau= \frac{P}{\pi t} * g(t)\)
式中，P為柯西主值，為簡單計(jì)算可取1.由上式可見，信號(hào)g(t)的希爾伯特變換\(\hatg(t)\)是原信號(hào)g(t)與\(\frac{1}{\pit}\)在時(shí)域內(nèi)的卷積。這個(gè)卷積在時(shí)域內(nèi)似乎很難理解；我們將它轉(zhuǎn)換到頻域中來看。時(shí)域中的卷積相當(dāng)于頻域的相乘，而
\[F(\frac{1}{\pi t}) = -jsgn(f) =\begin{cases}&-j, f >0\\ &+j f< 0\end{cases}\]
可以看出，希爾伯特變換的結(jié)果是給原來的實(shí)信號(hào)提供一個(gè)幅值和頻率不變，但相位平移90度的信號(hào)。
希爾伯特變換是生成解析信號(hào)的基礎(chǔ)，原信號(hào)g(t)和它的希爾伯特變換對\(\hatg(t)\)分別構(gòu)成解析信號(hào)的實(shí)部和虛部，解析信號(hào)可以表示為：
\(g_+(t) = g(t) + j\hat g(t) = a(t)e^{j\theta(t)}\)
\(a(t) = \sqrt{g(t)^2 + \hat g(t)^2}\)
\(\theta(t) = arctan(\frac{\hat g(t)}{g(t)})\)
理論上可以有許多方法來定義一個(gè)虛部，但是唯有通過希爾伯特變換得到的虛部，才能構(gòu)建出具有明確意義的解析函數(shù)。在此基礎(chǔ)上瞬時(shí)頻率定義為：
\(\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}\)
為了使按上式定義的瞬時(shí)頻率為時(shí)間t的單值函數(shù)，原則上必須對所分析的數(shù)據(jù)做出必要的約束。這樣在任一時(shí)刻，只存在一個(gè)頻率值與之對應(yīng)，也就是說，所分析的信號(hào)必須是“單分量”信號(hào)。由于對單分量信號(hào)沒有明確的定義，人們很難保證一個(gè)信號(hào)可用于計(jì)算具有實(shí)際物理意義的瞬時(shí)頻率。在你這種情況下，“窄帶”信號(hào)就被用于對所分析的數(shù)據(jù)進(jìn)行約束。然而，對“窄帶”信號(hào)的定義，本身就是在譜距離概念的基礎(chǔ)上提出的，所以都是從全局意義上對帶寬作出判斷，缺乏精確性且有過多的約束。
瞬時(shí)頻率對信號(hào)的約束條件，給人們一種啟示：在對信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換之前，首先要把信號(hào)分解為瞬時(shí)頻率具有意義的各個(gè)分量。把信號(hào)進(jìn)行分解的方法在希爾伯特-黃變換理論中稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?。在此方法中N.E.Huang等人定義了一類函數(shù)，稱為固有模式函數(shù)。利用這類函數(shù)的局部特性，可以使函數(shù)在任意一點(diǎn)的瞬時(shí)頻率都具有明確的物理意義，從而使得希爾伯特-黃變換比單純的希爾伯特變換在時(shí)頻分析中有了很大的進(jìn)步。
6.1.2 固有模式函數(shù)
一個(gè)固有模式函數(shù)要滿足以下兩個(gè)條件：一是在整個(gè)數(shù)據(jù)集合中，極點(diǎn)的數(shù)目和過零點(diǎn)的數(shù)目必須相等或最多相差一個(gè)；二是由局部極大值和極小值所形成的的包絡(luò)均值都等于零。
實(shí)際中信號(hào)復(fù)雜多樣，很難保證要處理的信號(hào)已經(jīng)符合固有模式函數(shù)的要求。在這種情況下對原始信號(hào)進(jìn)行分解處理，進(jìn)而化為多個(gè)固有模式函數(shù)集合就很有必要。這就是經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸狻?/div>
6.2 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?/strong>
6.2.1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾幕驹?/strong>
經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒軌蚝芎玫靥幚矸瞧椒€(wěn)、非線性信號(hào)，與小波變換和其他的時(shí)頻分析方法相比，這種方法具有許多優(yōu)點(diǎn)。比如它是直觀的，直接的等，其根本原因是在于這種變換是基于數(shù)據(jù)本身的一種分解，而不是基于事先設(shè)定好的基函數(shù)，所以具有很好的自適應(yīng)性。
經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馐墙⒃谝韵录僭O(shè)的基礎(chǔ)上：
（1）信號(hào)至少有兩個(gè)極值點(diǎn)：一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)。
（2）特征時(shí)間尺度由極值點(diǎn)之間的時(shí)間間隔定義；
（3）若數(shù)據(jù)缺乏極值點(diǎn)但具有變形點(diǎn)，則可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行一次或幾次微分來獲得極值點(diǎn)，然后再利用積分獲得相應(yīng)的分解結(jié)果。
這里只簡單說一下步驟，詳細(xì)參見原書
（1）提取信號(hào)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，用三次樣條曲線分別連接，形成上包絡(luò)和下包絡(luò)，設(shè)包絡(luò)的均值為\(m_1\)，則有\(zhòng)(x(t) -m_1 = h_1\)。
（2）\(h_1\)一般不是一個(gè)固有模式函數(shù)，需要繼續(xù)平滑
\(h_1 - m_{11} = h_{11}\)
其中\(zhòng)(m_{11}\)為\(h_1\)上下包絡(luò)的均值，重復(fù)以上平滑過程k次，\(h_{1k}\)是一個(gè)固有模式函數(shù)為止，即
\(h_{1(k-1)} - m_{1k} = h_{1k}\)
最后得到的第一個(gè)固有模式函數(shù)\(c_1 = h_{1k}\)。
（3）分離\(c_1\)
\(r_1 = x(t) - c_1\)
（4）重復(fù)以上步驟，直到殘余項(xiàng)小于給定值或變成單調(diào)函數(shù)，分解結(jié)束，最后得到
\(x(t) = \sum_{i = 1}^{n}c_i + r_n\)
這樣就獲得了n個(gè)固有模式函數(shù)和一個(gè)殘余量。原始信號(hào)x(t)就是由這n個(gè)不同時(shí)間尺度下的固有模式函數(shù)和這個(gè)殘余量組成。
6.3 希爾伯特譜分析
在經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾幕A(chǔ)上，得到了固有模式函數(shù)，就可以根據(jù)前面的公式計(jì)算瞬時(shí)頻率。對每一個(gè)固有模式函數(shù)進(jìn)行希爾伯特變換后，解析信號(hào)可以表示為：
\(x(t) = \sum_{i = 1}^{n}a_i(t)e^{j\int\omega_i(t)dt}\)
其中，\(a_i(t)\)表示第i個(gè)固有模式函數(shù)的幅值，\(\omega_i(t)\)表示第i個(gè)固有模式函數(shù)的瞬時(shí)頻率。由于殘余項(xiàng)在一般情況下包含的能量較大，而我們感興趣的卻常常是高頻率低能量的信息，為了避免殘余項(xiàng)沖擊其他信息，因此在構(gòu)建希爾伯特譜時(shí)可以不考慮余項(xiàng)。
上面的公式給出了每一個(gè)模態(tài)隨時(shí)間變化的幅值和頻率。如果將原始數(shù)據(jù)用傅里葉展開，可表達(dá)成如下形式：
\(x(t) = \sum_{i = 1}^{\infty}a_ie^{j\omega_it}\)
其中\(zhòng)(a_i\)和\(\omega_i\)都是常數(shù)。對比fourier公式可以看出，用固有模式函數(shù)的形式來表達(dá)信號(hào)更一般化。隨時(shí)間變化的幅值和頻率不但提高了數(shù)據(jù)展開的效率，而且非常適于分析非平穩(wěn)信號(hào)。
邊緣譜計(jì)算公式
\(h(\omega) = \int_{0}^{T}H(\omega, t)dt\)
后面的就是一些實(shí)例和希爾伯特譜的意義，由于沒有找到電子版的書，所以圖片就不貼了，但這也不影響，因?yàn)楸疚闹饕窍冉榻B一些基本概念和原理，關(guān)于實(shí)例會(huì)有其他博文進(jìn)行補(bǔ)充。
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