什么樣的圖形只用一筆就能畫出來？筆既不離開紙面，也不重復(fù)。這實際上是十八世紀一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題：哥尼斯堡七橋問題。
七橋問題
在普魯士的哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）有一個公園，公園里有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€島與與河岸連接起來。
1736年，當?shù)鼐用衽e辦了一項有意思的健身活動：在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經(jīng)過一次而且起點與終點必須是同一地點。
有許多人進行了嘗試，但是都失敗了。此時當時世界上最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉剛好在這里，他敏銳的發(fā)現(xiàn)這里蘊藏著深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，并把它稱為一筆畫問題。
歐拉把七座橋畫作七條線段，并把問題轉(zhuǎn)化為是否可以通過一筆將這個圖形畫出來。經(jīng)過思考，歐拉認為這是不可能的。
不僅如此，歐拉還得出了哪些圖形可以一筆畫，哪些不能一筆畫的條件。
首先，歐拉把圖形中的點分為兩種：如果過該點的線段有偶數(shù)條，就稱為偶點；如果過該點的線段有奇數(shù)條，就稱為奇點。比如下面的圖形中，紅色圓圈的點就是偶點，綠色圓圈的點就是奇點。
歐拉指出：如果一個圖形可以一筆畫，那么它的奇點個數(shù)一定是0個或者2個。
如果奇點個數(shù)是0個，那么起點和終點是同一個點，從圖形中任何一點出發(fā)都可以一筆畫，比如上圖中左邊的圖形就是這樣。
如果奇點個數(shù)是2個，那么只能從一個奇點出發(fā)，畫到另一個奇點，才能將圖形畫出來，這就是上圖中右邊的情況。
理解這個問題其實并不難，因為：
如果一個點既不是起點也不是終點，那么線段經(jīng)過該點時必然會一進一出，線段成對出現(xiàn)，一定是偶點。
如果起點和終點是一個點，那么該點有一條出發(fā)線段和一條結(jié)束線段，也是偶點。
如果這個點只是出發(fā)點，或者只是結(jié)束點，才可能是奇點。
所以，如果從一點出發(fā)一筆畫回到這個點，圖形中就不會有奇點；如果從一點出發(fā)一筆畫到另一點，圖形中就會有兩個奇點。
比如，我們來看看“日”是否能一筆畫？
由于日字腰上兩個點有三條線段，因此是奇點，其余點都有兩條線段，是偶點。因此日字可以一筆畫，而且必須從腰上的一點出發(fā)到另一點結(jié)束。按照圖中1234567的順序，就能畫出來了。
我們再來看看格尼斯堡七橋問題。
在這個圖形中，過A、C或D各有3條線段，是奇點；過B有5條線段，也是奇點。圖中有4個奇點，因此是不能一筆畫的。
對于題主提出的四個圖，每個圖奇點個數(shù)分別是：4、2、0、2，所以第一個圖不能一筆畫，而后面三個圖可以。
說了這么多，讀者是不是可以看看“田”字中有幾個奇點？能不能一筆畫呢？
歐拉
歐拉向圣彼得堡科學(xué)院提交《哥尼斯堡的七座橋》的論文時，只有29歲，在解答問題的同時，他開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個新的分支——圖論與幾何拓撲。
歐拉是一個天才，在數(shù)學(xué)史上的地位就像牛頓在物理學(xué)的地位一般偉大，我們在研究數(shù)學(xué)時會經(jīng)常看到歐拉公式、歐拉定理、歐拉函數(shù)。他13歲進大學(xué)學(xué)習(xí)，16歲就獲得了碩士學(xué)位。28歲時，由于生病，歐拉的右眼失明了。晚年時左眼也失明了。但是就在雙目失明的情況下，歐拉還憑借心算解決了許多的數(shù)學(xué)問題。
他不光是數(shù)學(xué)史上里程碑式的人物，同時也是一位物理學(xué)家，為物理學(xué)的發(fā)展鋪平了數(shù)學(xué)的道路。在他的一生中寫出了886本書籍和論文，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙了47年！
