空間中的垂直關(guān)系
二. 課標(biāo)要求：
以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。
通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理：
◆一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。
◆ 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直。
通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：
◆兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。
能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。
三. 命題走向
近年來(lái)，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，常常立足于棱柱、棱錐和正方體，復(fù)習(xí)是要以多面體為依托，始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定作為考查重點(diǎn)。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進(jìn)行了降低，重點(diǎn)在對(duì)圖形及幾何體的認(rèn)識(shí)上，實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，是知識(shí)深化和拓展的重點(diǎn)，因而在這部分知識(shí)點(diǎn)上命題，將是重中之重。
預(yù)測(cè)高考將以多面體為載體直接考查線面位置關(guān)系：
（1）考題將會(huì)出現(xiàn)一個(gè)選擇題、一個(gè)填空題和一個(gè)解答題；
（2）在考題上的特點(diǎn)為：熱點(diǎn)問(wèn)題為平面的基本性質(zhì)，考查線線、線面和面面關(guān)系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主。
（3）解答題多采用一題多問(wèn)的方式，這樣既降低了起點(diǎn)又分散了難點(diǎn)。
［教學(xué)過(guò)程］
基本知識(shí)要點(diǎn)回顧：
1. 線線垂直
判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。
2. 線面垂直
定義：如果一條直線l和一個(gè)平面α相交，并且和平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l和平面α互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面α叫做直線l的垂面,直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。直線l與平面α垂直記作：l⊥α。
直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。
直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。
3. 面面垂直
兩個(gè)平面垂直的定義：如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個(gè)平面互相垂直.
兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）
如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。
兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。
【典型例題】
例1. 如圖1所示，已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分別為A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中點(diǎn)，求證：EF⊥GF。
證明：如圖2，作GQ⊥B1C1于Q，連接FQ，則GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q為B1C1的中點(diǎn)?！?/span>EF⊥GQ
在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分別為A1D1、A1B1、B1C1的中點(diǎn)，
EF∥B1D1，FQ∥A1C1 又∵B1D1⊥A1C1
∴EF⊥FQ
∴EF⊥平面FGQ ∴EF⊥GF
點(diǎn)評(píng)：以垂直為背景，加強(qiáng)空間想象能力的考查，體現(xiàn)了立體幾何的考查、論證思想。
例2. （2006全國(guó)Ⅱ，19）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分別為BB1、AC1的中點(diǎn)，
求證：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線。
證明：設(shè)O為AC中點(diǎn)，連接EO，BO，則EO∥＝C1C，又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD為平行四邊形，ED∥OB。
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOì面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線。
點(diǎn)評(píng)：該題考點(diǎn)多，具有一定深度，但入手不難，逐漸加深，邏輯推理增強(qiáng)。
例3. （2006北京文，17）如圖，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求證：BD⊥平面ACC1A1。
證明：∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，
∴CC1⊥平面ADCD,
∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
又∵AC，CC1平面ACC1A1,
且AC∩CC1=C,
∴BD⊥平面ACC1A1。
例4.（2006天津文，19）如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱。
（I）求證：平面；
（II）設(shè)求證：平面
證明：（I）取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM。
在矩形ABCD中，
又
則連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形。
又平面CDE，且平面CDE，
平面CDE。
（II）連結(jié)FM。
由（I）和已知條件，在等邊中，
且
因此平行四邊形EFOM為菱形，從而。
平面EOM，從而
而所以平面
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力。
例5. 如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中點(diǎn).
（1）求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。
分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由平面與平面垂直性質(zhì)定理可得C1D ⊥平面A1B。
（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要過(guò)D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點(diǎn)即為所求的F 點(diǎn)位置。
（1）證明：如圖，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。
又 D 是A1B1 的中點(diǎn)，∴ C1D ⊥A1B1 。
∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延長(zhǎng)DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 ⊥平面C1DF ，點(diǎn)F 即為所求。
事實(shí)上，∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 . 又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，
∴ AB1 ⊥平面C1DF 。
點(diǎn)評(píng)：本題（1）的證明中，證得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是開放性探索問(wèn)題，注意采用逆向思維的方法分析問(wèn)題。
例6. 如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中點(diǎn)，
求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；
（3）平面DEA ⊥平面ECA。
分析：（1）證明DE ＝DA ，可以通過(guò)圖形分割，證明△DEF ≌△DBA。（2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM ⊥平面ECA。
證明：（1）如圖，取EC 中點(diǎn)F ，連結(jié)DF。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。
∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又BA ＝BC ＝DF ，
∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。
（2）取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ，
∵ M 是EA 的中點(diǎn)，
∴ MN EC。
由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。
∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點(diǎn)，
∴ DM ⊥EA . 又EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。
（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，
∴ 平面DEA ⊥平面ECA。
點(diǎn)評(píng)：面面垂直的問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問(wèn)題解決。
例7. （2003京春理，19）如圖所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，E，F分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，EF∩BD=G。
（Ⅰ）求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
（Ⅱ）求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d；
（Ⅲ）求三棱錐B1—EFD1的體積V。
（Ⅰ）證明：連接AC。
∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形。
∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1
∵E，F分別為AB，BC的中點(diǎn)，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。
（Ⅱ）解：在對(duì)角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足為H
∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，
∴D1H⊥平面B1EF，且垂足為H，∴點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d=D1H。
解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sin∠D1B1H，
∵D1B1=A1B1=4，
sin∠D1B1H=sin∠B1GB=，
∴d=D1H=4·
解法二：∵△D1HB∽△B1BG，∴
∴d=D1H=。
解法三：如圖所示，連接D1G，則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半.即B1G·D1H=BB12。
∴d=
（Ⅲ）·d·.
點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力。并進(jìn)行一定的邏輯推理，在研究本題時(shí)，要注意摘出平面圖形，便于計(jì)算。
例8. 如圖1所示，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中點(diǎn)。
（1）證明AB1∥DBC1；
（2）假設(shè)AB1⊥BC1，BC=2。
求線段AB1在側(cè)面B1BCC1上的射影長(zhǎng)。
證明：（1）如圖2所示，∵A1B1C1—ABC是正三棱柱，
∴四邊形B1BCC1是矩形。
連結(jié)B1C，交BC1于E，則BE=EC。
連結(jié)DE，在△AB1C中，∵AD=DC，
∴DE∥AB1，又因?yàn)?/span>AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1。
（2）作AF⊥BC，垂足為F。因?yàn)槊?/span>ABC⊥面B1BCC1，
∴AF⊥平面B1BCC1。連結(jié)B1F，則B1F是AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影。
∵BC1⊥AB1，∴BC1⊥B1F。
∵四邊形B1BCC1是矩形，∴∠B1BF=∠BCC1=90°，又∠FB1B=∠C1BC，
∴△B1BF∽△BCC1，則==。
又F為正三角形ABC的BC邊中點(diǎn)，因而B1B2=BF·BC=1×2=2。
于是B1F2=B1B2+BF2=3，∴B1F=，即線段AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影長(zhǎng)為。
點(diǎn)評(píng)：建立直線和平面的位置關(guān)系與點(diǎn)、線在平面上的射影間的關(guān)系。
例9. （1）（2000全國(guó)，16）如圖（1）所示，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖（2）的 （要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）
圖（1）
圖（2）
解：∵面BFD1E⊥面ADD1A1，所以四邊形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③，同理，在面BCC1B1上的射影也是③。
過(guò)E、F分別作DD1和CC1的垂線，可得四邊形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是②。
例10. （1999全國(guó)，18）α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： 。
答：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線線、線面、面面之間關(guān)系的判定與性質(zhì).但題型較新穎，主要表現(xiàn)在：題目中以立體幾何知識(shí)為背景，給出了若干材料，要求學(xué)生能將其組裝成具有一定邏輯關(guān)系的整體?？疾橹R(shí)立足課本，對(duì)空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強(qiáng)能力考查的方向。
例11.（07福建?理?18題）如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)。求證：AB1⊥面A1BD；
證明：取中點(diǎn)，連結(jié).
為正三角形，.
正三棱柱中，平面平面，
平面.
連結(jié)，在正方形中，分別為
的中點(diǎn)，
，
.
在正方形中，，平面.
例12. （07湖南?理?18題）如圖1，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成、，并連結(jié)，使得平面平面，，且. 連結(jié)，如圖2.
求證：平面平面；
證明：因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.
［思維小結(jié)］
1. 通過(guò)典型問(wèn)題掌握基本解題方法，高考中立體幾何解答題基本題型是：
（Ⅰ）證明空間線面平行或垂直；
（Ⅱ）求空間中線面的夾角或距離；
（Ⅲ）求幾何體的側(cè)面積及體積。其中夾角和距離在文科不做過(guò)高要求.
證明空間線面平行或垂直需注意以下幾點(diǎn)：
①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。
②立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。
③明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。
垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：
（1）平行轉(zhuǎn)化：線線平行線面平行面面平行；
（2）垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直線面垂直面面垂直；
每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達(dá)到目的。
例如：有兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。
2. “升降維”思想
直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的。運(yùn)用降維的方法把立體空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面或直線問(wèn)題進(jìn)行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問(wèn)題得到解決。運(yùn)用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的重要方法。平面圖形的翻折問(wèn)題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運(yùn)用的過(guò)程。
3. 反證法
反證法是立體幾何中常用的間接證明方法。
其步驟是：①否定結(jié)論；②進(jìn)行推理；③導(dǎo)出矛盾；④肯定結(jié)論. 用反證法證題要注意：①宜用此法否；②命題結(jié)論的反面情況有幾種。
【模擬試題】
1. P-ABCD是四棱錐，則四個(gè)側(cè)面三角形中為直角三角形的最多個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 過(guò)平面外兩點(diǎn)且垂直于平面的平面（ ）
A. 有且只有一個(gè) B. 不是一個(gè)便是兩個(gè)
C. 有且僅有兩個(gè) D. 一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)
3. 若平面⊥平面，直線n，m,m⊥n，則 （ ）
A. n⊥ B. n⊥且m⊥
C. m⊥ D. n⊥與m⊥中至少有一個(gè)成立
4. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足__________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.
5. 已知：AB，CD，B、D是垂足，AC，=MN，求證：MNBD.
6. 如圖四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)，且PA=AB. （1）求證：平面PCE⊥平面PCD；（2）求點(diǎn)D到平面PCE的距離。
7.（07寧夏?理?19題）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點(diǎn).
求證：平面；
8. （07陜西?理?19題）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中，，,BC=6。
求證：；
【試題答案】
1. D 2. D 3. D 4. BM⊥PC
5. 借助于面面垂直
6. 利用面面垂直的判定定理
7. 證明：由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而.
所以為直角三角形，.
又.
所以平面.
8. 證明：平面，平面. .
又，.
，，，即.
又. 平面.
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