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繼上篇：數(shù)學(xué)史上那些是是非非的數(shù)學(xué)猜想，令人著迷，令人狂

希爾伯特23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題與世界七大數(shù)學(xué)難題

而從數(shù)學(xué)史上看，某一階段的數(shù)學(xué)猜想的總結(jié)與重接提出又往往引領(lǐng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展與方向。

數(shù)學(xué)巨匠大衛(wèi)·希爾伯特在1900年8月8日于巴黎召開(kāi)的第二屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上的著名演講中提出了23個(gè)數(shù)學(xué)難題。在過(guò)去百年中激發(fā)數(shù)學(xué)家的智慧，指引數(shù)學(xué)前進(jìn)的方向，其對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響和推動(dòng)是巨大的，無(wú)法估量的。其中，除了第8、9、15、16個(gè)問(wèn)題未解決或部分解決，其它大部分已經(jīng)解決。

大衛(wèi)·希爾伯特

然后，在過(guò)了百年后的2000年，根據(jù)數(shù)學(xué)一世紀(jì)以來(lái)空前的發(fā)展，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問(wèn)委員會(huì)又選定了七個(gè)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”，克雷數(shù)學(xué)研究所的董事會(huì)還建立七百萬(wàn)美元的大獎(jiǎng)基金，每個(gè)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”的解決都可獲得一百萬(wàn)美元的獎(jiǎng)勵(lì)。

這七個(gè)“世界難題”是：NP完全問(wèn)題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)、楊·米爾斯理論、納衛(wèi)爾-斯托可方程、BSD猜想。這七個(gè)問(wèn)題都被懸賞一百萬(wàn)美元。（下期推送介紹）

同樣的，“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”一經(jīng)提出，便在世界數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了強(qiáng)烈反響。這些問(wèn)題都是關(guān)于數(shù)學(xué)基本理論的，但這些問(wèn)題的解決將對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用的深化產(chǎn)生巨大推動(dòng)。

至今，已有一個(gè)被解決，即龐加萊猜想由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼破解，還剩六個(gè)。

不過(guò)，現(xiàn)在看來(lái)，能解決這些猜想的數(shù)學(xué)家都不是一般的怪才。這位謎一樣的天才格里戈里·佩雷爾曼同樣不一般，千禧數(shù)學(xué)獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)時(shí)他不在場(chǎng)，他還拒絕了數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)——菲爾茲獎(jiǎng)，這可是許多數(shù)學(xué)家們畢生所追求的無(wú)上榮譽(yù)。

格里戈里·佩雷爾曼

大數(shù)學(xué)家也有猜錯(cuò)之時(shí)

當(dāng)然，既然是猜想，也就有猜錯(cuò)的可能。

更甚者，若是大數(shù)學(xué)家自己猜錯(cuò)，可能就帶來(lái)后世數(shù)學(xué)家?guī)装倌甑恼垓v。

下面，我們不妨領(lǐng)略一二。

無(wú)理數(shù)的烏龍事件

畢達(dá)哥拉斯

首先出場(chǎng)的，就是大名鼎鼎的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是數(shù)學(xué)史上最早以理性的邏輯思維，即從數(shù)理的角度探求自然本原的學(xué)派。

不過(guò)，他們所謂的“一切數(shù)”是均可表成整數(shù)或整數(shù)之比的數(shù)（即我們所知的有理數(shù)）。得出這個(gè)結(jié)論，當(dāng)然不是演繹推理的結(jié)果，而是基于經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)和其哲學(xué)思想基礎(chǔ)上的一個(gè)歸納總結(jié)。在數(shù)學(xué)層面上看充其量就是一個(gè)數(shù)學(xué)猜想。

因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯神一般的地位，當(dāng)時(shí)，無(wú)人懷疑。

然而，戲劇性的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派從數(shù)學(xué)問(wèn)題本身出發(fā)的推導(dǎo)出了畢達(dá)哥拉斯定理（即勾股定理），于是，注定成了自己數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。

其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯在利用畢達(dá)哥拉斯定理研究邊長(zhǎng)為1的正方形時(shí)，發(fā)現(xiàn)其對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度無(wú)法用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示，也就是說(shuō)，這個(gè)數(shù)并非他們學(xué)派一直信仰的“數(shù)”。這就是數(shù)學(xué)史踢出的第一個(gè)烏龍球“根號(hào)2”。

不過(guò)，這個(gè)現(xiàn)在中學(xué)生習(xí)以為常的一個(gè)數(shù)，在當(dāng)時(shí)社會(huì)的出現(xiàn)，不管是對(duì)數(shù)學(xué)，還是哲學(xué)，都是一個(gè)致命的打擊。該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐之余，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，也動(dòng)搖了他們對(duì)數(shù)的信仰。于是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門(mén)徒，于是希伯索斯被殘忍地扔進(jìn)了大海。這個(gè)希伯索斯算是史上有記載的第一位為真理獻(xiàn)身的數(shù)學(xué)家了。

他們猜錯(cuò)了，還不認(rèn)錯(cuò)，這才是真正可悲的事。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)真理終究是無(wú)法隱蓋的。這個(gè)根號(hào)2最終導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生，也讓人們發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)的存在。

“馬”失前蹄

費(fèi)馬

還是那位提出費(fèi)馬大猜想的費(fèi)馬先生。他發(fā)現(xiàn)：

前5個(gè)都是素?cái)?shù)，因?yàn)榈?個(gè)數(shù)實(shí)在太大了，費(fèi)馬認(rèn)為這個(gè)數(shù)也是質(zhì)數(shù)。由此，費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想：形如 

 

的數(shù)都是質(zhì)數(shù)的猜想。后來(lái)人們就把形如

的數(shù)叫費(fèi)馬數(shù)。

大家要知道，探尋這個(gè)式子在數(shù)學(xué)史上的意義。幾千年以來(lái)，人們都在苦苦探尋數(shù)學(xué)DNA——素?cái)?shù)的普遍公式，甚至連這樣的式子到底存不存在都是個(gè)問(wèn)題，所以，當(dāng)費(fèi)馬提出這樣一個(gè)能表示素?cái)?shù)的公式，必然引起人們的興趣與關(guān)注。

1729年12月1日，還是那位哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）又給歐拉寫(xiě)了一封信，問(wèn)道：“費(fèi)馬認(rèn)為所有形如

的數(shù)都是素?cái)?shù)，你知道這個(gè)問(wèn)題嗎？他說(shuō)他沒(méi)能作出證明。據(jù)我所知，也沒(méi)有其他任何人對(duì)這個(gè)問(wèn)題作出過(guò)證明?！?/p>

這位數(shù)學(xué)愛(ài)好者哥德巴赫雖然沒(méi)有研究什么大的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但絕對(duì)算是數(shù)學(xué)史上的一位福星，不斷發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，從而意外推進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

再說(shuō)這位歐拉，1732年，年僅25歲，但已經(jīng)于前一年獲得物理學(xué)教授的職位，再過(guò)兩年就將接替他的老師丹尼爾成為數(shù)學(xué)所所長(zhǎng) 。就這樣，這個(gè)天才數(shù)學(xué)家在費(fèi)馬死后67年得出F₅ =641×6700417，這一結(jié)果意味著F₅ 是一個(gè)合數(shù)，從而宣告了費(fèi)馬的猜想是錯(cuò)的。

馬也有失前蹄的時(shí)候啊！

費(fèi)馬，這位偉大的數(shù)論天才看來(lái)過(guò)于相信自己的直覺(jué)，輕率地做出了他一生唯一的一次大的離譜的錯(cuò)誤猜測(cè)——因?yàn)椋駷橹?，費(fèi)馬數(shù)除了被其本人所證實(shí)的那五個(gè)外竟然沒(méi)有再發(fā)現(xiàn)一個(gè)！

于是，人們又開(kāi)始了另一猜想：在所有的費(fèi)馬數(shù)中，除了前五個(gè)是素?cái)?shù)外，其他的都是合數(shù)。

至于這個(gè)猜想，至今，仍不得而知。

歐拉也不能幸免

歐拉紀(jì)念郵票

歐拉在研究費(fèi)馬最后定理（前面提到的費(fèi)馬猜想）時(shí)引出一個(gè)猜想，每個(gè)大于2的整數(shù)n，任何n- 1個(gè)正整數(shù)的n次冪的和都不是某正整數(shù)的n次冪。即，

比如，當(dāng)n=4時(shí)，即

歐拉猜想這個(gè)方程無(wú)整數(shù)解。

二百年來(lái)，沒(méi)有人能證明歐拉猜想，但也沒(méi)有人能找出一個(gè)反例來(lái)否定它。

直到1966年，L. J. Lander和T. R. Parkin找到了第一個(gè)反例：

接著于1988年，哈佛大學(xué)的 Noam Elkies 又發(fā)現(xiàn)n=4時(shí)的一個(gè)解：

同時(shí)，Noam Elkies 也證明了這個(gè)方程有無(wú)窮多個(gè)解。

自此，歐拉猜想也有了結(jié)論，大數(shù)學(xué)家也有猜錯(cuò)的時(shí)候。

梅森數(shù)的意外

梅森

最后，我們?cè)賮?lái)提一下梅森數(shù)。

17世紀(jì)法國(guó)著名的僧侶數(shù)學(xué)家馬林·梅森（Mersenne）在歐幾里得、費(fèi)馬等人有關(guān)研究的基礎(chǔ)上對(duì)2p－1（數(shù)學(xué)界把這種數(shù)稱(chēng)為 “梅森數(shù)”，并以Mp記之。）作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證，并于1644年在他的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書(shū)中斷言：

在不大于257的素?cái)?shù)中，當(dāng)p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時(shí)，2^p－1是素?cái)?shù)，其它都是合數(shù)。 

因?yàn)槊飞牡匚?，同樣地?50年來(lái)，人們對(duì)其斷言也是深信不疑。

直到1903年，哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家科爾（Frank Nelson Cole,1861～1926）在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的一個(gè)會(huì)議上作了一篇《論大數(shù)的因式分解》。只見(jiàn)，科爾寫(xiě)下了2⁶⁷ -1=147 573 952 589 676 412 927=193 707 721×761 838 257 287。

于是，梅森猜想這個(gè)百年神話(huà)頃刻間破滅。

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數(shù)學(xué)猜想的證明之路漫漫，數(shù)學(xué)猜想的提出也必將繼續(xù)不斷。只是正如Simon Singh在其所著的《費(fèi)馬大定理：一個(gè)困惑了世間智者358年的謎》所言：“這里的教訓(xùn)是，你不能通過(guò)只對(duì)前一百萬(wàn)個(gè)數(shù)字來(lái)證明一個(gè)猜想對(duì)所有的數(shù)都成立。”

數(shù)學(xué)就是這么較真！