三、解決問題常用的策略
前面我們把“應(yīng)用題”在新的課程標(biāo)準(zhǔn)下，教材的編寫特點(diǎn)做了一個(gè)非常簡要的總結(jié)。接下來，根據(jù)老師們前面提的問題，在解決問題過程中，我們應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生哪些解決問題的策略進(jìn)行討論。
解決問題的價(jià)值不只是獲得具體問題的解，更多的是學(xué)生在解決問題過程中獲得的發(fā)展。其中重要的一點(diǎn)，在于使學(xué)生學(xué)習(xí)一些解決問題的基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問題的某些策略。
關(guān)于解決問題，《標(biāo)準(zhǔn)》里是這樣說的：
——初步學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。
——形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神。
——學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果。
——初步形成評價(jià)與反思的意識(shí)。
在(標(biāo)準(zhǔn))提出的上述目標(biāo)中，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和形成解決問題的策略是重點(diǎn)。
下面我們就來介紹幾種常用的解題問題的策略。
1、畫圖的策略。
把畫圖作為一種解決問題的策略。由于孩子年齡的局限，他們對符號(hào)、運(yùn)算性質(zhì)的推理可能會(huì)發(fā)生一些困難，如果適時(shí)的。讓孩子們自己在紙上涂一涂、畫一畫，可以拓展學(xué)生解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關(guān)鍵。因此我們認(rèn)為，畫圖應(yīng)該是孩子們掌握的一種基本的解決問題的策略。為什么說畫圖很重要呢？主要是比較直觀，通過畫圖能夠把一些抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，把一些復(fù)雜的問題簡單化。下面我們來介紹幾種常用的畫圖的方法。
（1）線段圖：
案例：
題目：張老師要買一個(gè)打印機(jī)，喬老師要買一件毛衣。
打印機(jī)：800元/臺(tái)
毛 衣：200元/件
商場促銷活動(dòng)，如果購買500元以上的商品就把超出
500元的部分打八折。
問：兩位老師合著買比分著買可以省多少錢？
課堂上學(xué)生出現(xiàn)兩種方法：
方法一：（800-500）×80%+500+200=940（元）
（800+200-500）×80%+500=900（元）
940-900=40（元）
方法二：200×(1-80%)=40(元)
打折與策略
當(dāng)時(shí)很多同學(xué)不理解第二種算法，運(yùn)用方法二解題的同學(xué)把圖畫在黑板上，而授課教師又適時(shí)的把第一種算法的線段圖畫在上面，學(xué)生通過兩各圖的對比，恍然大悟！真正省的其實(shí)就是那200元的20％，所以是40元。這道題突顯了通過畫線段圖把這種復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡單明了，將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化了。
（2）樹圖
這是課標(biāo)教材教學(xué)內(nèi)容“搭配”。兩件上裝三件下裝進(jìn)行搭配，最多有多少種搭配方法？我們看到了這里的圖非常清晰，一件上裝與三件下裝進(jìn)行搭配，再拿一件搭配三種，這是三種，這也是三種，一目了然。這就是老師們講的樹圖。在這個(gè)過程中，學(xué)生也不斷的去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如果再多一件上裝會(huì)怎么樣？再多一件下裝又會(huì)怎么樣？通過畫圖進(jìn)一步的了解數(shù)量之間的關(guān)系，尤其是對三年級(jí)的學(xué)生來說，這是是非常直觀的。
（3）集合圖
例如，我覺得這個(gè)題出的挺好的，一般教材用的不多。但它是很重要的一種解題方法。在這個(gè)統(tǒng)計(jì)表上，把參加語文或者數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的學(xué)生名單列出來，參加語文小組的是8個(gè)人，參加數(shù)學(xué)小組的是9個(gè)人，但是從表中的人數(shù)中數(shù)不出來17個(gè)。所以那個(gè)孩子說，這兩個(gè)小組沒有17人人呀？怎么辦？這個(gè)問題按邏輯思維是推不出來的，明明9加8等于17，但是實(shí)際沒有17個(gè)人。哪去了那幾個(gè)人？那個(gè)孩子說，畫一個(gè)圖表示清楚了，這就是集合圖。原來這三個(gè)人是重合的。它既是語文小組的，又是數(shù)學(xué)小組的。
（4）示意圖
除了剛才介紹的幾種圖以外，孩子們有的時(shí)候是沒有任何框框的，他們根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，自己的思維的特點(diǎn)，可能畫出一些讓我們老師意想不到的、他所明白的一些圖。比如前面劉德武老師介紹的那些，就是孩子們在解決問題的過程中，自己畫的圖。因此我們特別提出來，作為教師要尊重孩子們，特別是當(dāng)孩子們的示意圖畫出來的時(shí)候，可能是非常的嫩稚的，可能是非常不成熟的，但是我們要很好地、認(rèn)真地去挖掘他的思維價(jià)值，保護(hù)孩子們創(chuàng)造的積極性。
2、列表的策略。
列表的策略，有時(shí)候我們也叫列舉信息的策略。在解決問題的過程當(dāng)中，我們將問題的條件信息用表格的形式把它列舉出來，往往能對表征問題和尋求問題解決的方法，起到事半功倍的效果。談到列表，其實(shí)在前面我們介紹的一些案例當(dāng)中，也看到了施銀燕老師那節(jié)雞兔同籠的課，就是在讓學(xué)生通過列表的解決問題的策略，來進(jìn)行解決問題的。其實(shí)在列表的過程當(dāng)中，施老師也用到了另外一個(gè)策略，就是嘗試。
3、嘗試的策略。
嘗試的策略，簡單的說就是你不知道該從哪開始的時(shí)候，可以先猜一猜來進(jìn)行嘗試。但是猜測的結(jié)果，應(yīng)該是比較合理的，并且要把猜測的結(jié)果，放到問題中去進(jìn)行調(diào)整。我們也看到了剛才施銀燕老師那節(jié)課，她也是讓學(xué)生在列表的過程當(dāng)中，不斷的進(jìn)行調(diào)整。腿多了不符合題目的要求了怎么辦？就把兔子的只數(shù)減少一點(diǎn)；當(dāng)腿少的時(shí)候怎么辦？把雞的只數(shù)調(diào)整一下。實(shí)際就是一邊嘗試一邊調(diào)整，然后通過列表來解決這些問題。把猜測的結(jié)果放到問題中間進(jìn)行調(diào)整，直到發(fā)現(xiàn)了正確的答案。
4、模擬操作策略。
模擬操作是通過探索性的動(dòng)手操作活動(dòng)，來模擬問題情境，從而獲得問題解決的一種策略。學(xué)生是通過自己探索的過程，將需要解決的問題，轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知的問題來進(jìn)行推導(dǎo)性的研究。通過這種開發(fā)性的操作的策略的訓(xùn)練，不僅能夠使學(xué)生獲得問題的解決，而且在這個(gè)過程當(dāng)中，也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。
還是用案例來說明問題。
姚健老師在講最小公倍數(shù)問題的時(shí)候，用到了模擬操作的一種策略。這還得從植樹問題談起，當(dāng)時(shí)，學(xué)生對點(diǎn)和段的理解不夠深刻，于是每個(gè)人發(fā)了一個(gè)學(xué)具，上面畫著刻度然后把那個(gè)小樹插在上面。間隔兩米種一棵樹，間隔兩米種一棵樹，學(xué)生通過操作很快的就發(fā)現(xiàn)了，點(diǎn)數(shù)跟段數(shù)的關(guān)系。之后，學(xué)習(xí)最小公倍數(shù)時(shí)，我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)情境。在一條路的一側(cè)，準(zhǔn)備每隔兩米插一個(gè)小旗，實(shí)際上就應(yīng)該插在三米、六米、九米（口誤，應(yīng)該為2米、4米、6米）這樣的位置。每隔兩米就是每三米插一棵，隨后又改成每隔三米插一個(gè)，就等于在四米、八米、十二米（口誤，應(yīng)該是3米、6米和9米）這樣的位置上插小旗。（這里是想利用這個(gè)例子向老師們說明解決問題的策略，不要在字眼上摳學(xué)生，更不能作為評價(jià)學(xué)生的題目。）
讓學(xué)生在學(xué)具上先插好，然后提出問題：究竟哪個(gè)旗子可以不動(dòng)？通過這個(gè)操作，學(xué)生很容易的理解了公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的意義。
還有一個(gè)案例，是在三年級(jí)的一節(jié)課上。
教師出示一道題目：一列火車身長是100米，要經(jīng)過一座橋。這個(gè)橋長1550米。這列火車是以每秒15米的速度前進(jìn)，那么通過這個(gè)橋需要多長時(shí)間？
在解決問題的時(shí)候，孩子容易用1550除以15。問題出來后，老師沒有立刻作出評價(jià)，而是讓學(xué)生們自己想想看。我記得當(dāng)時(shí)聽課，有個(gè)孩子拿了個(gè)鉛筆盒當(dāng)做橋，拿了短短的鉛筆當(dāng)做火車，自己在模擬火車過橋。演示三遍以后，他做出了判斷，應(yīng)該把1550的橋長加上車身之長作為路程然后除以速度才是過橋的時(shí)間。通過模擬，把一些源于生活的東西具體化了，把這種不清晰的數(shù)量關(guān)系，把它很直觀地表現(xiàn)出來，這個(gè)題就解決了。
5、逆推的策略
逆推也叫還原，就是說從反面去思考，從問題的結(jié)果一步一步地反面去思考。在解決某一個(gè)問題的過程當(dāng)中，當(dāng)你從正面進(jìn)行思考遇到了阻礙，碰到困難的時(shí)候，可以換個(gè)思路從相反的方向，即從問題的結(jié)果一步一步的往前推，這時(shí)候可能會(huì)有意外的發(fā)現(xiàn)。
馬云鵬老師的一篇文章中，也談到了逆推的策略。題目是小禾來到一家餅店，拿出一半錢吃午餐，又花了七角五分錢買點(diǎn)心，還剩一元錢。問他原來帶了多少錢？我們在做題過程當(dāng)中，就可以從知道的地方入手，反著來做，發(fā)現(xiàn)它開始的情況。我們知道小何現(xiàn)在有一元錢，他做的最后一件事情是花七角五分錢買了點(diǎn)心。因此，這個(gè)時(shí)候就從最后七角五分開始去思考，我們把七角五分和他現(xiàn)在有的一元錢給加起來就能發(fā)現(xiàn)，他在買點(diǎn)心之前有1.75元，如果他花了一半錢去吃午餐的時(shí)候還剩1.75元，那他吃飯就一定是花了1.75元了，這樣1.75加1.75最后得到的是3.5元，我們自然也就知道他原先的錢是3.5元。當(dāng)我們驗(yàn)證結(jié)果是不是正確的時(shí)候，可以從前邊事情的開始再來給它做一下檢驗(yàn)。如果小禾有3.5元錢，那他吃飯花了一半就會(huì)剩下1.75元，如果后來他又花了七角五分去買點(diǎn)心，那就只剩下一元錢了，這樣就與問題的數(shù)據(jù)正好是吻合的。
6、簡化的策略。
簡化就把繁雜的問題簡單化，可以把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，也可以抓住問題的關(guān)鍵部分進(jìn)行思考。我們的應(yīng)用問題要結(jié)合實(shí)際的話，可能要說一大堆有關(guān)情境的事。那么我們怎么樣把這個(gè)生活中的實(shí)際問題，把它抽象成數(shù)學(xué)問題，這就是一個(gè)簡化的過程。
下邊我想舉個(gè)加拿大的例子：在電影“動(dòng)物臺(tái)階”中，女英雄瑪麗在一座金字塔的底層，發(fā)現(xiàn)一個(gè)字條告訴他如何攀登金字塔：往上登臺(tái)階時(shí)，要仔細(xì)觀察，有一塊松動(dòng)的石階，下面有一張字條，會(huì)告訴你再登多少臺(tái)階有藏寶圖，但是它不會(huì)直接告訴你，只告訴你這個(gè)特別數(shù)字臺(tái)階的線索?，旣愓业搅思垪l，上面寫著：“比125大，小于180，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，這個(gè)數(shù)能被4和8整除”，女英雄要再登多少級(jí)臺(tái)階，才能找到藏寶圖？
這樣的題目可能在我們的課本里很少見，那么這么多的字。我就問我的外孫子，我說這么多的字看起來多麻煩??！他說不麻煩，因?yàn)檫@個(gè)《動(dòng)物臺(tái)階》，正好是他們現(xiàn)在正在上映的電影，他說我們都看過這個(gè)電影，而且特別感興趣，特別佩服那個(gè)女英雄。所以大家在讀這些話的時(shí)候，感到特別親切。我又問題他，你準(zhǔn)備怎么來解答這道題呢？他說解答這道題時(shí)前邊這些話不要管他，只抓住這些信息，即“比125大，小于180，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，這個(gè)數(shù)能被4和8整除”。我就得從130開始，那么他要五個(gè)五個(gè)的數(shù)，說130、 135 、140 、145、 150、155 、160。這都是五個(gè)五個(gè)數(shù)的。但是它還有一個(gè)條件，就是要能被4和8整除，所以每當(dāng)它出現(xiàn)這些數(shù)的時(shí)候，孩子都要想一想，能不能被4和8整除，最后160能被4和8整除，所以他就很快的找出了160，就是女英雄要登160節(jié)臺(tái)階才能找到了藏寶圖。
7．推理的策略
“推理”也是學(xué)生常用的一種解決問題的策略。過去我們所說的“分析法”和“綜合法”都可以看作是邏輯推理的方法。下面先看一個(gè)教學(xué)課例《兩步計(jì)算應(yīng)用題》教學(xué)實(shí)錄：
看圖、讀懂題
師：同學(xué)們從圖中看到了哪些信息？
生1：一個(gè)漢堡12元。
生2：一盒蛋撻的價(jià)錢比漢堡多5元。
生3：問買這些一共要用多少錢？
（學(xué)生邊說，師邊把以下文字寫在黑板上：
師：是這樣嗎？誰能把它讀出來？（指向文字）
生讀。
師：12元是什么意思？
生：一個(gè)漢堡的價(jià)錢。
師：多5元呢？
生：一盒蛋撻比一個(gè)漢堡多的錢。
師：還有一條信息，是問的問題：一共多少元？什么意思？
生：就是一個(gè)漢堡和一盒蛋撻總共要用多少錢。
嘗試解題，交流結(jié)果
師：有辦法解決嗎？自己先試一試。
學(xué)生在作業(yè)本上獨(dú)立試做。
師：我們一起交流。
生1：我用12+5=17（元）
（板書：12+5=17元）
師：誰是這樣做的，請舉手。其他同學(xué)的意見？
生2：我用12+5+12=29（元）
（板書：12+5+12=29元）
師：誰是這樣做的，請舉手。還有其他意見嗎？
師：同學(xué)們出現(xiàn)兩種不同的答案，同意12+5=17（元）正確的同學(xué)起立。
師：找一個(gè)代表說說你們的想法。
生1：題中不是有兩個(gè)數(shù)嗎，我就一加得出來了。
生2：最后是求“一共”，所以就用加法算。
生3：這樣想不對，一個(gè)漢堡就要12元，即使一盒蛋撻也12元的話，還得20多元呢，何況蛋撻比漢堡用的錢還多，肯定不對。
師：通過估算來判斷結(jié)果是否合理，是一個(gè)好辦法。
師：你們現(xiàn)在認(rèn)為呢？
生1等：我們做得不對。
交流分析的方法
師對剛才做錯(cuò)的同學(xué)說：剛剛開始學(xué)有點(diǎn)問題很正常的，我們一起來聽聽用12+5+12=29（元）的同學(xué)是怎么想的？好嗎？
①畫圖解題
生5：我畫了一個(gè)圖：
生5邊看圖邊解釋：這是一個(gè)漢堡的錢，這也是一個(gè)漢堡的錢，這是一盒蛋撻比漢堡多出的錢，要求一共要用多少錢，就把它們都加起來，就是29元。
師：都加起來算什么呢？ 哪個(gè)是漢堡的？哪個(gè)是蛋撻的？
師：能列個(gè)算式嗎？
生5：12+5+12=29（元）
師：同學(xué)們聽明白沒？
師：想到用畫圖的方法來解答問題，是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。其他同學(xué)呢？
②從問題入手解題
生6：不是要求“一共用多少錢”嗎？我就想用一個(gè)漢堡的錢數(shù)和一盒蛋撻的錢數(shù)加起來就好了。一個(gè)漢堡是12元，一盒蛋撻是17元，這樣它們加起來就是29元。
師：同學(xué)們有問題要提嗎？
生：題中沒有17呀？
生6：是用12+5得到的，這樣就是拐一個(gè)彎才能得出一盒蛋撻的錢數(shù)。
師：拐一個(gè)彎真好！那為什么要拐一個(gè)彎算出來呢？
生：因?yàn)榈皳榈腻X數(shù)沒有直接給出來，要通過一盒蛋撻比一個(gè)漢堡多5元錢這個(gè)信息求出來，才能求出它倆一共的錢數(shù)呢。
生6：對，這樣在12+5的基礎(chǔ)上，再加12，就是總錢數(shù)了。
師：他的說法你們同意嗎？有沒有問題？
生：為什么算式里有兩個(gè)12呢？
師：對呀，題目中只告訴了兩個(gè)數(shù)據(jù)，一個(gè)12元，一個(gè)5元，這個(gè)12用了兩次，是怎么回事兒？
生：第一次用這個(gè)12是為了求出一盒蛋撻的錢，第二次再用才是漢堡自己的。
師：看來同學(xué)們是真得明白了。
師：回憶一下，我們剛才是怎么想這道題的？
（師生共同梳理，師相機(jī)板書。）
生：我們先看一共要用多少錢，就得用一個(gè)漢堡的錢加一盒蛋撻的錢，一個(gè)漢堡12元，已經(jīng)知道了，先不管，一盒蛋撻的錢還不知道，就用12+5求出來，兩個(gè)都知道了，加在一起就可以了。
③從已知信息入手解題
師：你還有想法要說，是嗎？
生：我是看老師在黑板上寫的想出來的。我想一個(gè)漢堡是12元，一盒蛋撻比漢堡多5元，那么，一盒蛋撻就要用17元，最后是要求一共用的錢數(shù)，就再把12和17合起來。
師：聽明白他是怎么做的沒？
生：他就是好好讀老師寫出的題，就求出來了。
師：也就是一點(diǎn)一點(diǎn)看給出的信息，找一找它們之間存在的關(guān)系，一步步求出最后的問題。
教材中呈現(xiàn)的推理問題。
“列表”；“假設(shè)”；“猜想嘗試”；“模擬操作”；“畫圖”；“邏輯推理”；“逆推”；“簡化”等都是學(xué)生常用的解決問題的策略。
事實(shí)上，當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)在面前時(shí)，其思維的觸須是多端的。以上所述的幾種問題解決的策略只是平時(shí)常用的導(dǎo)引途徑，為了能夠更有效地提高數(shù)學(xué)問題解決的能力，教師還要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決的實(shí)踐中注意不斷思索探求、逐步積累解題經(jīng)驗(yàn)，以掌握更多、更具體的解題方法和思維策略。
最后應(yīng)該清楚的是，解決問題策略的教學(xué)應(yīng)該基于這樣一個(gè)總的指導(dǎo)思想，那就是，把解決問題的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，提供給學(xué)生更多的展示屬于他們自己的思維方式和解題策略的機(jī)會(huì)，提供給學(xué)生更多的解釋和評價(jià)他們自己的思維結(jié)果的權(quán)利。當(dāng)解決問題成為課堂教學(xué)的一部分，學(xué)生能夠在班級(jí)中調(diào)查、探索、推理和交流日常的問題解決，并能在解決問題過程中體驗(yàn)到成功的時(shí)候，他們就會(huì)成長為自信而成功的問題解決者。
四、解決問題教學(xué)的建議
應(yīng)用題教學(xué)，貫穿整個(gè)小學(xué)階段，歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。前面，我們不僅回顧了我國關(guān)于解決問題教學(xué)發(fā)展的歷程，并且談到了解決問題教學(xué)的價(jià)值，結(jié)合教學(xué)策略、結(jié)合課程改革過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象、問題以及教師、學(xué)生的困惑，提出以下教學(xué)建議：
（一）解決問題的基本過程
數(shù)學(xué)問題解決，指的是按照一定的思維對策進(jìn)行的一個(gè)思維過程，一步一步地接近目標(biāo)，最終達(dá)到目標(biāo)。也就是說，數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的解決問題，不只是關(guān)心問題的結(jié)果，更重要的是關(guān)心求得結(jié)果的過程??探索、思考解決數(shù)學(xué)問題的過程，一般說來，是一個(gè)較為復(fù)雜。艱苦的歷程。學(xué)生除需要運(yùn)用抽象、歸納、類比。演繹等邏輯形式外，還需要運(yùn)用直覺、靈感或頓悟等非邏輯形式。
要能夠把握“問題解決”的問題，要準(zhǔn)確迅速地把握問題的關(guān)鍵，揭示問題的本質(zhì)屬性，搞清問題的求解目標(biāo)和已知條件、未知條件，是問題解決的第一步。它對思維的敏捷性和深刻性提出了很高要求，也為思維敏捷性和深刻性創(chuàng)造了極好的訓(xùn)練機(jī)會(huì)。
問題解決的第二步是設(shè)計(jì)求解計(jì)劃，這要求大量的分析綜合，嘗試與猜測、類比與聯(lián)想，這對訓(xùn)練思維的靈活性和獨(dú)創(chuàng)性大有益處。
問題解決的最后一步，就是對所得結(jié)果作檢驗(yàn)和回顧。這時(shí)訓(xùn)練思維的批判性和深刻性是具有十分重要的作用。
小結(jié)：理解題意——分析數(shù)量關(guān)系——求解作答——檢驗(yàn)反思
（二）具體建議：
1．對“好”的問題的思考。
對于教材編寫和教學(xué)，一個(gè)首要的方面是提出“好”的問題。對于“好”的標(biāo)準(zhǔn)也許并不統(tǒng)一，這里只是談一談我們的思考。“好”的問題絕不等同于簡單的練習(xí)，解決問題也決不能簡單地理解為在一般的公式中對某個(gè)參數(shù)賦以具體的數(shù)值，也不能僅僅理解為會(huì)解決一些“人造”的問題。當(dāng)然，知識(shí)的簡單應(yīng)用是必要的，但不能僅僅停留于此，而是應(yīng)努力使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中“抽取”數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)化過程，以及把數(shù)學(xué)模型放到現(xiàn)實(shí)中加以使用的過程。
問題應(yīng)當(dāng)具有一定的探索性，解決它沒有現(xiàn)成的方法和程序，而需要發(fā)揮學(xué)生的各種思考和創(chuàng)造；問題應(yīng)當(dāng)成具有一定的現(xiàn)實(shí)性和趣味性，既非人為編造的，又能激發(fā)每個(gè)學(xué)生的好奇心；解決問題的途徑和策略往往是多種的，需要學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，并發(fā)揮多種的數(shù)學(xué)思考；問題應(yīng)當(dāng)具有一定的啟示意義，有利于學(xué)生掌握重要的數(shù)學(xué)思想方法和解決問題的策略，而不是所謂的“偏題”、“怪題”；同時(shí)，問題應(yīng)具有適當(dāng)?shù)拈_放性，這種開放并不一定表現(xiàn)在答案的多樣性上，更為重要的是問題能使所有的學(xué)生都嘗試解決，不同的學(xué)生在解決問題的過程中都能獲得發(fā)展。要設(shè)計(jì)出完全符合上面標(biāo)準(zhǔn)的題目是比較困難的，但這是我們的追求。
同時(shí)，教材精簡了缺乏實(shí)際背景的、技巧性過高的算術(shù)應(yīng)用題。正如數(shù)學(xué)家吳文俊先生指出的“不能在奇招怪招上消耗時(shí)間太多”。取而代之的是教材增加了富有現(xiàn)實(shí)意義的、與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)相符合的、具有一定數(shù)學(xué)價(jià)值的、具備一定探索性的問題。
2．幫助學(xué)生讀懂題
對于解決問題，學(xué)生的困難，一是讀懂題，二是分析數(shù)量關(guān)系。我們在這里強(qiáng)調(diào)讀懂題。讀懂題，為后面分析數(shù)量關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。
怎樣是讀懂題，我們可以：
一遍讀，搞清楚是什么事；
二遍讀，進(jìn)行篩選，捕捉有用的數(shù)學(xué)信息，誰和誰有關(guān)系，有什么關(guān)系。
三遍讀，告訴我們解決什么問題。這樣只有我們讀懂了題，才能更好地進(jìn)行解決問題。
怎樣幫助學(xué)生讀懂題：
——手勢理解。
——情景再現(xiàn)。
——邊讀題邊記錄。抽象出問題的骨架，可以是畫出圖表示關(guān)系。
——從數(shù)學(xué)的角度觀察、思考，提取數(shù)量關(guān)系，提出并解答數(shù)學(xué)問題。
【案例】
課上出示青蛙圖有兩幅圖，左邊荷葉上原有38只青蛙，右圖中，一部分青蛙跳到了水中，荷葉上還剩下5只青蛙。教師先讓學(xué)生觀察并描述一下圖意。
一名學(xué)生說：“荷葉上有38只青蛙，忽然一個(gè)石子落入水中，啪的一聲，小青蛙們害怕了，紛紛跳入水中。最后只剩下5只青蛙媽媽。”老師表揚(yáng)了他，說他語言流暢，想象力豐富，并鼓勵(lì)大家向他學(xué)習(xí)。接著又叫了一名同學(xué)，他說：“38只青蛙正在荷葉上曬太陽。一個(gè)頑皮的男孩經(jīng)過，向水中打了幾個(gè)水漂，膽小的青蛙都鉆到荷葉下面了，只剩下5只勇敢的。”老師說“呦，你的想象真棒！”
兩名同學(xué)描述過后，教師正打算讓同學(xué)們看圖列式?？啥嫌猪懫鹆藥讉€(gè)急不可耐的童音：“老師，我還有不同的想法。”……
3、理解運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上，分析數(shù)量關(guān)系。
解決問題首先需要學(xué)生具有數(shù)學(xué)的眼光，能識(shí)別存在于日常生活、自然現(xiàn)象與其他學(xué)科等中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，并把它們提煉出來，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)對其進(jìn)行分析，然后綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)和技能加以解決。
Ø 運(yùn)算意義的教學(xué)。
我們要重視對運(yùn)算意義的教學(xué)。加、減、乘、除運(yùn)算的意義是核心概念，要讓學(xué)生積累原型，在什么時(shí)候用加、減、乘、除運(yùn)算。如在求方陣中有多少人，用乘法運(yùn)算比較簡便。另外我們還要在比較中多角度提出問題，對比看關(guān)系。如一加兩減等。這樣學(xué)數(shù)學(xué)就活了。
Ø 注重對數(shù)量關(guān)系的分析。
在解決具體問題時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生通過實(shí)際操作、思考討論，尋找問題中所隱含的數(shù)量關(guān)系，強(qiáng)調(diào)對問題實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義的真正理解。例如，教師要鼓勵(lì)學(xué)生首先看懂問題情境，用自己的語言或者熟悉的符號(hào)表達(dá)問題情境和需要解決的問題；根據(jù)所求的問題和情境中的條件，運(yùn)用圖、表格等多種形式分析數(shù)量關(guān)系；回憶所學(xué)運(yùn)算及其他內(nèi)容的數(shù)學(xué)意義，將數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來，建立數(shù)學(xué)模型；向別人解釋自己所列模型的實(shí)際意義。在學(xué)習(xí)了一段時(shí)間后，教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生自己總結(jié)一些數(shù)學(xué)模型的典型實(shí)例。
4、注重用方程解決問題
——方程是一種很好的數(shù)學(xué)思維,它能幫助人們用順向思維解決問題,思維過程比較簡單。
——用方程有意義，對于逆向思維有幫助。
——學(xué)生不愿意用方程，覺得它格式繁瑣。教師不要死摳格式，要有簡化意識(shí)，重在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用方程的思想解決問題。
5．形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。
解決問題活動(dòng)的價(jià)值不只是獲得具體問題的解，更多的是學(xué)生在解決問題過程中獲得的發(fā)展。其中重要的一點(diǎn)在于使學(xué)生學(xué)習(xí)一些解決問題的基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問題的某些策略。
這里需要指出兩點(diǎn)。第一，教學(xué)中要重視對學(xué)生解決問題策略的指導(dǎo)，將“隱性”的解決問題的策略“顯性化”。例如，在具體求解問題前，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生思考需要運(yùn)用哪些解決問題的策略；在解決問題的過程中，教師可以根據(jù)具體情況，適時(shí)使學(xué)生注意是否要調(diào)整解決問題的策略；在解決問題之后，教師要鼓勵(lì)學(xué)生反思自己所使用的策略，并組織全班交流?？傊?，教師要將解決問題的策略作為重要的目標(biāo)，有意識(shí)地加以指導(dǎo)和教學(xué)。
第二，學(xué)生所采用的策略，在老師的眼中也許有優(yōu)劣之分，但在孩子的思考過程中并沒有好壞之別，都反映出學(xué)生對問題的理解和所作出的努力。只要解題過程及答案具有合理性，就值得肯定。這為樹立學(xué)生的自信心和培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神提供了很有價(jià)值的機(jī)會(huì)。
6． 反思解決問題的過程及策略，逐步形成評價(jià)與反思的意識(shí)
學(xué)生在解決問題中的失敗常常不是由于數(shù)學(xué)知識(shí)的缺乏，而是由于對于他們所學(xué)習(xí)的知識(shí)的非有效的應(yīng)用。好的解決問題者常常監(jiān)控并調(diào)整他們解決問題的過程。他們要通過仔細(xì)閱讀問題或提出自己的疑惑來確信是否真正理解了問題；他們常常做計(jì)劃，并定期對正在做的事作檢查，以了解他們是否在正確的軌道上前進(jìn)；如果感到遇到了重大挫折，他們就嘗試考慮換一個(gè)解決問題的角度；而當(dāng)解決了一個(gè)問題之后，他們能回顧整個(gè)解題過程，反思結(jié)果和解決問題的策略是否合理、是否有不同的解決問題的途徑，以及與其他問題是否有聯(lián)系等等。總之，學(xué)生的評價(jià)和反思意識(shí)和水平在解決問題的過程中起著很大的作用。
教學(xué)中可以通過設(shè)計(jì)以下的一些問題，幫助學(xué)生逐步形成評價(jià)和反思的習(xí)慣：“在開始解決問題前，你確實(shí)理解了問題了嗎？”“可能有哪些解決問題的途徑供選擇？”“需要制定一個(gè)計(jì)劃嗎？”“這個(gè)計(jì)劃可行嗎？或者，我們該重新考慮計(jì)劃？”“這個(gè)問題的解合理嗎？”“在解決這個(gè)問題中，你運(yùn)用了什么策略？”“是否還有其他解決問題的方法？”等等。對于實(shí)際問題，教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對問題的解加以檢驗(yàn)，不僅僅是檢驗(yàn)解正確與否，更重要的是考察問題的解是否符合實(shí)際。同時(shí)，我們不能僅僅滿足于一個(gè)具體問題的求解，還應(yīng)促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考得到進(jìn)一步的發(fā)展。例如，引導(dǎo)學(xué)生對所求解的問題抽象或一般化；思考在解決問題過程中使用的策略能否作為解決一類問題的重要方法；對解決問題的不同策略進(jìn)行比較，以體會(huì)各自不同的特點(diǎn)與適用性；在解決問題的基礎(chǔ)上提出新的問題，等等。
解決問題是整個(gè)數(shù)學(xué)課程的不可缺少的一部分，它應(yīng)伴隨數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程。在義務(wù)教育階段，通過解決問題，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和數(shù)學(xué)思考與交流的能力，而不是將學(xué)生培養(yǎng)成解決問題的專家。特別是要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)本身是有用的，促使他們碰到問題能想一想是否可以用數(shù)學(xué)來解決。在這樣的思想指導(dǎo)下的應(yīng)用問題的教與學(xué), 學(xué)生學(xué)會(huì)了真正意義上的“具體問題具體分析”,學(xué)會(huì)了如何利用各種手段收集和處理問題中隱含的信息，學(xué)會(huì)了如何從問題中發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)了如何從多個(gè)角度思考問題，因而也就學(xué)會(huì)了“舉一反三”，獲得了初步分析問題、解決問題的能力。
