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一、全等三角形證明條件歸類：

從全等三角形證明的四種證明方法（邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊）來看：

①已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，第三個(gè)條件可以找已知兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等 或 找第三邊對(duì)應(yīng)相等；

②已知兩角對(duì)應(yīng)相等，第三個(gè)條件可以找已知兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等 或 已知的兩個(gè)角中的某個(gè)角的對(duì)應(yīng)邊相等；

③已知一邊和一角對(duì)應(yīng)相等，第三個(gè)條件可能是對(duì)應(yīng)相等角的另一邊對(duì)應(yīng)相等 或 是另一角對(duì)應(yīng)相等 。

綜上：如何才能找到證明全等三角形的第三個(gè)條件呢？根據(jù)以上分析分為兩種情況：

1、再找一組對(duì)應(yīng)邊相等；2、再找一組對(duì)應(yīng)角相等。

二、對(duì)應(yīng)邊相等的情形：

1、公共邊是第三個(gè)條件

例題1、如圖，在△ABC 和 △ABD 中，AC = BD ，AD = BC ，求證 ： △ABC ≌ △ABD

例題1圖

證明：在 △ABD 和 △ BAC 中

∵ BD = AC ， BC = AD ， AB = BA （公共邊）

∴ △ABC ≌ △ABD （SSS）

2、相等對(duì)應(yīng)邊 + 公共邊的和 對(duì)應(yīng)相等

例題2、如圖，AB = CD ，AE = DF ， CE = FB ，求證 ：△ AEB ≌ △DFC

例題2圖

證明：

∵ CE = FB ∴ CE + EF = EF + FB （即 CF = BE）

∵ AB = DC , AE = DF ，CF = BE

∴ △ AEB ≌ △DFC （SSS）

3、相等對(duì)應(yīng)邊 - 公共邊的差 對(duì)應(yīng)相等

例題3、如圖，DF = CE , AD = BC , ∠D = ∠C ， 求證：△AED ≌ △BFC

例題3圖

證明：

∵ DF = CE ∴ DF - EF = CE - EF, 即 DE = CF

在 △AED 和 △BFC 中

∵ AD = BC , ∠D = ∠C ，DE = CF

∴ △AED ≌ △BFC （SAS）

4、等邊三角形的三邊相等（等腰三角形兩腰相等）

例題4、如圖， △ABC 和 △CDE 都是等邊三角形 ，求證 ：△ACD ≌ △BCE

例題4圖

證明：

∵ △ABC 和 △CDE 都是等邊三角形

∴ AC = BC , CD = CE , ∠ACB = ∠DCE = 60°

∴ ∠ACB + ∠ACE = ∠DCE + ∠ACE 即 ∠BCE = ∠ACD

在 △BCE 和 △ACD 中

∵ BC = AC , ∠BCE = ∠ACD , CE = CD

∴ △BCE ≌ △ACD （SAS）

5、添加輔助線與對(duì)應(yīng)的線段相等

例題5、如圖，已知 AD 是 △ABC 中 ∠A 的角平分線，AC = AB + BD ，求證：∠B = 2∠C

例題5圖

證明：延長(zhǎng) AB 取點(diǎn) E ，使 AE = AC , 連接 DE

∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠EAD = ∠CAD

∵ AE = AC , AD = AD

∴ △AED ≌ △ACD （SAS）

∴ ∠E = ∠C

∵ AC = AB + BD ∴ AE = AB + BD

∵ AE = AB + BE ∴ BD = BE ∴ ∠BDE = ∠E

∵ ∠ABC = ∠E + ∠BDE ∴ ∠ABC = 2∠E ∴ ∠ABC = 2∠C

6、二次證全等找到對(duì)應(yīng)的線段相等

例題6、如圖，已知 ∠A = ∠D = 90° ，AE = DE , 求證 ： △ABC ≌ △DCB

例題6圖

證明：

∵ ∠A = ∠D ， AE = DE , ∠AEB = ∠DEC （對(duì)頂角相等）

∴ △AEB ≌ △DEC （ASA） ∴ EB = EC

∵ EB + ED = EC + AE ∴ DB = AC

在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中

∵ ∠A = ∠D = 90° ， AC = DB ， BC = CB （公共邊）

∴ △ABC ≌ △DCB （HL）

三、對(duì)應(yīng)角相等的情形：

1、公共角相等

例題7、如圖，CA⊥BF 于點(diǎn) A ，BE⊥CF 于點(diǎn) E ，若 AC = BE ， 求證 ： △AFC ≌ △EFB

例題7圖

證明：

∵ CA⊥BF ，BE⊥CF ∴ ∠CAF = ∠BEF= 90°

在 △AFC 和 △EFB 中

∵ ∠CAF = ∠BEF ，∠F = ∠F （公共角），AC = BE

∴ △AFC ≌ △EFB （AAS）

2、對(duì)頂角相等

例題8、如圖，AE 和 BC 相交于點(diǎn) M ，點(diǎn) F 在 AM 上，∠CFM = ∠E ，BE = CF , 求證 ： △BEM ≌ △CFM

例題8圖

證明略

3、平行線截得的同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等

例題9、如圖，E, F 是四邊形 ABCD 對(duì)角線 AC 上的兩點(diǎn)，AF = CE ，DF = BE ，DF∥BE 。

求證：（1）△AFD ≌ △CEB ；（2）四邊形 ABCD 是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由。

例題9圖

證明：略

4、同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等

例題10、在 Rt△ABC 中，∠C = 90° ， CD⊥AB 于點(diǎn) D ，

求證：（射影定理）

（1）AC^2 = AD · AB ;

（2）BC^2 = BD · AB ;

（3）CD^2 = BD · AD 。

例題10圖

思路：

找出圖中的 3組 相似三角形，根據(jù)每組相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來證明。

證明略。