0 引言：英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)

問(wèn)：“要想確定英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)得分幾步？”

答：“三步！第一步，確定度量的比例；第二步，按選擇的比例沿海岸線度量；第三步，計(jì)算并記錄結(jié)果?！?/p>

然而，輕松之余，這實(shí)際上是個(gè)非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題，但它又是個(gè)哲學(xué)問(wèn)題。因?yàn)闊o(wú)論你的度量尺度選的多小，在比該尺度更小的尺度上，海岸線仍然會(huì)呈現(xiàn)出大量的無(wú)規(guī)則性（如下圖），所以選擇不同的尺度會(huì)得到不同的測(cè)量結(jié)果。

比如，如果我們的測(cè)量尺度是 200 公里，那么得出的結(jié)果大概是 2400 公里；當(dāng)測(cè)量尺度變?yōu)?100 公里時(shí)，得到的結(jié)果是 2800 公里；如果進(jìn)一步縮小測(cè)量尺度到 50 公里，得到的距離是 3400 公里?？梢姡S著度量尺度越來(lái)越精細(xì)，測(cè)量得到的英國(guó)海岸線的長(zhǎng)度是一直增加的！

英國(guó)的海岸線只是真實(shí)世界中不規(guī)則的、支離破碎的幾何形態(tài)的一個(gè)普通的例子。類似的例子還包括山峰的輪廓、股票的 K 線等。對(duì)于這些雜亂無(wú)章的幾何形態(tài)和自然現(xiàn)象，經(jīng)典幾何無(wú)能為力，而“分形”的概念卻大有作為（Mandelbrot 1977, 1982）。

1 分形

分形的概念由 Mandelbrot 提出。通俗的說(shuō)，分形是局部和整體有某種方式相似的形狀。該定義強(qiáng)調(diào)局部和整體的自相似性。

用上面英國(guó)海岸線的例子來(lái)說(shuō)，如果我們用一個(gè)可變焦的放大鏡來(lái)研究它的不同局部，那么無(wú)論我們選擇什么樣的焦距，我們看到的無(wú)規(guī)則幾何形狀都是類似的。又或者以股票的K線為例，不管我們看 5 分鐘 K 線，15 分鐘 K 線，日 K 線還是周 K 線（即我們?cè)诓煌念l率上觀察），我們看到的 K 線的隨機(jī)形態(tài)也具有統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性。

一個(gè)經(jīng)典的分形例子如下面的 Koch 曲線（又稱 Koch 雪花）。它由一個(gè)等邊三角形按一定的規(guī)則無(wú)限遞歸構(gòu)成，每一步都在上一步的基礎(chǔ)上構(gòu)造出形狀相似但尺度更?。ㄉ弦徊街腥切蔚?1/3）的等邊三角形。Koch 曲線的長(zhǎng)度是無(wú)窮大的。但是無(wú)論我們以哪個(gè)尺度觀察，看到的都是等邊三角形。這就是局部和整體自相似性的完美體現(xiàn)。

迄今為止，分形并沒(méi)有嚴(yán)格的定義（雖然它在數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格和精密的表達(dá)式），但分形具有以下特征：

1. 分形集具有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)；
2. 分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言描述、分形的大小不能用通常的測(cè)度來(lái)度量；
3. 分形集具有某種自相似性，這可以是近似的自相似性或者統(tǒng)計(jì)的自相似性。

2 分形市場(chǎng)假說(shuō)

Peters 將分形的概念引入到經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，提出了分形市場(chǎng)假說(shuō) Fractal Market Hypothesis（Peters 1994）。該理論被認(rèn)為比有效市場(chǎng)假說(shuō)更能解釋資本市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化。分形市場(chǎng)假說(shuō)為金融市場(chǎng)的研究搭建了全新的框架。它認(rèn)為：

1. 資本市場(chǎng)由無(wú)數(shù)的投資者構(gòu)成，每個(gè)投資者有不同的投資期限；
2. 不同的市場(chǎng)信息對(duì)投資者產(chǎn)生不同的影響；
3. 資本市場(chǎng)的穩(wěn)定性取決于其流動(dòng)性，不同的投資期限、信息集和接近市場(chǎng)公認(rèn)的公平價(jià)格確保了市場(chǎng)的流動(dòng)性，從而穩(wěn)定了整個(gè)資本市場(chǎng)；
4. 價(jià)格反映了短期技術(shù)分析與長(zhǎng)期基本面分析的結(jié)合；
5. 如果某項(xiàng)資產(chǎn)與經(jīng)濟(jì)周期循環(huán)無(wú)關(guān)，那么它就不具備長(zhǎng)期趨勢(shì)，其波動(dòng)主要由交易量、流動(dòng)性和短期信息決定。

由于市場(chǎng)由數(shù)目眾多的具有不同投資期限的投資者構(gòu)成，因此市場(chǎng)呈現(xiàn)分形結(jié)構(gòu)。在一個(gè)呈現(xiàn)分形特點(diǎn)的穩(wěn)定的市場(chǎng)中，不同期限的投資者往往關(guān)注不同的信息，他們會(huì)按照各自的投資期限做有利自己的投資操作。比如當(dāng)短期投機(jī)者因?yàn)闊狳c(diǎn)減少而賣出股票時(shí)，長(zhǎng)期的價(jià)值投資者便可能會(huì)在價(jià)格下降到他認(rèn)為的合理位置買入。這就保證了市場(chǎng)的流動(dòng)性。當(dāng)市場(chǎng)的分形結(jié)構(gòu)沒(méi)有變化時(shí)，市場(chǎng)就是穩(wěn)定的。

但是，一旦市場(chǎng)中的所有投資者的投資期限都統(tǒng)一時(shí)，市場(chǎng)就會(huì)因?yàn)槿狈α鲃?dòng)性而崩潰。比如在金融危機(jī)時(shí)，金融市場(chǎng)未來(lái)的不確定性使所有投資者都望而卻步。因此，所有投資者都想立刻賣出自己手中的籌碼，這就造成了流動(dòng)性的驟然枯竭。當(dāng)風(fēng)暴過(guò)去、市場(chǎng)開始緩慢恢復(fù)時(shí)，投資者們逐步對(duì)市場(chǎng)產(chǎn)生新的理性認(rèn)知，從而市場(chǎng)中再一次充滿了不同投資期限的投資者，這時(shí)便產(chǎn)生了一個(gè)新的具有分形特征的穩(wěn)定市場(chǎng)。

分形市場(chǎng)假說(shuō)和有效市場(chǎng)假說(shuō)的主要區(qū)別如下表所示。

3 分形時(shí)間序列

具有分形特性的收益率序列就是分形時(shí)間序列。分形時(shí)間序列一般具有兩個(gè)明顯的特征：

1. 標(biāo)度行為（自相似性或標(biāo)度不變性），即該序列在不同的時(shí)間標(biāo)度（分鐘、日、周、月、年）下具有相似或相同的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。
2. 長(zhǎng)記憶性（long-term memory），即過(guò)去的信息對(duì)將來(lái)的事件產(chǎn)生長(zhǎng)期的影響。

Peters 將源于自然科學(xué)的重標(biāo)極差（R/S）方法和 Hurst 指數(shù)（Hurst 1951）運(yùn)用到經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。R/S 方法通過(guò)計(jì)算 Hurst 指數(shù)有效地描繪不同頻率上收益率序列在各階矩上的自相似性的大小。Hurst 指數(shù)的取值在 0 到 1 之間。0.5 說(shuō)明時(shí)間序列是完全隨機(jī)的；當(dāng) Hurst 指數(shù)在 0.5 到 1 之間時(shí)，說(shuō)明該序列有一定的長(zhǎng)期正相關(guān)性，表示時(shí)間序列如果當(dāng)前的數(shù)值比較大（或?。?，那么接下來(lái)出現(xiàn)的數(shù)值也可能比較大（或小）；當(dāng) Hurst 指數(shù)在 0 到 0.5 之間時(shí)，說(shuō)明該序列的數(shù)值可能較大較小交替出現(xiàn)。

分形市場(chǎng)假說(shuō)在歐美和我國(guó)股市都得到了很多實(shí)證的支持。有很多券商的報(bào)告中利用 Hurst 指數(shù)描繪股價(jià)走勢(shì)是否有趨勢(shì)性或者反轉(zhuǎn)性，并以此開發(fā)擇時(shí)策略。此外，在分形的基礎(chǔ)上又發(fā)展出來(lái)了多重分形，來(lái)更好的刻畫資本市場(chǎng)的非線性動(dòng)態(tài)特征。

參考文獻(xiàn)

• Hurst, H. E. (1951). Long-term storage capacity of reservoirs. Transactions of American Society of Civil Engineers, Vol. 116(1), 770 – 799
• Mandelbrot, B. B. (1977). Fractals: form, chance and dimension. San Francisco: Freeman.
• Mandelbrot, B. B. (1982). The fractal geometry of nature. New York: Freeman.
• Peters, E. E. (1994). Fractal market analysis: applying chaos theory to investment and economics. New York: Wiley.