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定理：如果一個(gè)三角形是直角三角形,那么這個(gè)三角形 斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半。

其逆命題1：如果一個(gè)三角形一條邊的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且這條邊為直角三角形的斜邊。

逆命題1是正確的。以該條邊的中點(diǎn)為圓心，以中線(xiàn)長(zhǎng)為半徑作圓，則該邊成為圓的直徑，該三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)在圓上，該頂角為圓周角。因?yàn)橹睆缴系膱A周角是直角，所以逆命題1成立。

原命題2：如果CD是直角三角形ABC斜邊AB上的中線(xiàn)，那么它等于A(yíng)B的一半。

逆命題2：如果線(xiàn)段BD的一端B是直角三角形ABC的頂點(diǎn)，另一端D在斜邊AC上，且BD等于A(yíng)C的一半，那么BD是斜邊AC的中線(xiàn)。

逆命題2是不成立的。舉一個(gè)反例。設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)分別為AB=3，BC=4，AC=5。斜邊的一半長(zhǎng)為2.5,斜邊上的高BE=（3*4）/5=2.4,在線(xiàn)段AE上上必能找到一點(diǎn)D，使BD=2.5，但BD并不是AC邊的中線(xiàn)，因?yàn)锳C邊的中點(diǎn)在線(xiàn)段EC上。

逆命題3：若直角三角形斜邊上一點(diǎn)與直角頂點(diǎn)的連線(xiàn)等于該點(diǎn)分斜邊所得兩條線(xiàn)段中任意一條時(shí)，該點(diǎn)為斜邊中點(diǎn)。幾何描述：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜邊AB上一點(diǎn)。若CD=AD或CD=BD，則D是AB中點(diǎn)。

逆命題3成立，CD=AD則∠A=∠ACD，而∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，因此∠BCD=∠B。等角對(duì)等邊，有CD=DB，所以AD=BD，即D是斜邊中點(diǎn)。

證法1：

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分線(xiàn)n交BC于D

∴ AD=BD（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等）

以DB為半徑，D為圓心畫(huà)弧，與BC在D的另一側(cè)交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等邊對(duì)等角）

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形內(nèi)角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C與C’在直線(xiàn)AC上

又∵C與C’在直線(xiàn)BD上，AC與BD相交

∴C與C’重合（也可用垂直公理證明 ：假使C與C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故過(guò)A有CA、C’A兩條直線(xiàn)與AB垂直 這就與垂直公理矛盾 ∴假設(shè)不成立 ∴C與C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中線(xiàn)且AD=BC/2這就是直角三角形斜邊上的中線(xiàn)定理

證法2：

ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中線(xiàn)，作AB的中點(diǎn)E，連接DE

∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位線(xiàn)

∴DE‖AC（三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊）

∴∠DEB=∠CAB=90°（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）

∴DE⊥AB

∴DE是AB的垂直平分線(xiàn)

∴AD=BD（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等）

∴AD=CB/2

證法3：運(yùn)用向量證明

已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是中線(xiàn)。求證BC=2AD

證明：設(shè)向量AC= b，向量AB= c，向量BC= a，向量AD= d

∵AD是BC的中線(xiàn)

∴ c+ b=2 d

∴（ c+ b）2=4 d2

展開(kāi)括號(hào)，得| c|2+2 c· b+| b|2=4| d|2

又∵ c⊥ b

∴ c· b=0，| c|2+| b|2=| a|2

∴得| a|2=4| d|2

開(kāi)方得| a|=2| d|，即BC=2AD

證法4：運(yùn)用矩形的性質(zhì)證明

延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE,CE

∵BD=CD，∠BAC=90°

∴四邊形ABEC是矩形

∴BC=AE=2AD

證法5：解析幾何證明

以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)C（2c,0），B（0，2b），那么D（c，b）

直角三角形斜邊中線(xiàn)定理

|BC|= = =2|AD|

證法6：圓

作Rt△ABC外接圓

∵∠BAC=90°

∴AB是直徑（90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑）

∴D是圓心，AD是半徑

∴AB=2AD

證法7：余弦定理

設(shè)三角形的兩條直角邊為a、b，斜邊為c，中線(xiàn)為d。

∵a2+b2=c2，且d為斜邊的中線(xiàn)，

∴對(duì)同一個(gè)角B，可得：

cosB=（a2+c2-b2）/2ac=（a2+1/4c2-d2）/ac

化簡(jiǎn)后為：a2-1/2c2+b2=2d2

∵a2+b2=c2，∴代入后可得：1/2c2=2d2，

d1=1/2c，d2=-1/2c（不合題意，舍去）

∴d=1/2c，命題得證。

證法8：反證法

假設(shè) BD != AD

1) CD > AD =>∠CAD >∠DCA (三角形大邊對(duì)大角）

BD > AD =>∠BAD >∠ABD

=>∠CAD+∠BAD >∠ABD+∠ACD

=>∠ABD+∠ACD <90°

=>CD > AD 不成立

2)同理可得 CD <AD 也不成立

=> CD =AD

如果一個(gè)三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且該邊是斜邊。

幾何語(yǔ)言：在△ABC中，AD是中線(xiàn)，且BC=2AD,則∠BAC=90°。

延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD,連接BE,CE

∵BD=CD，AE=2AD=BC

∴四邊形ABEC是矩形（∵對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等）

∴∠BAC=90°

∵AD=BD=CD

∴A,B,C在以D為圓心，BD為半徑的圓上

那么BC是直徑，根據(jù)圓周角定理的推論，直徑所對(duì)的圓周角是直角。

∴∠BAC=90°

過(guò)D作DE⊥AB,垂足為E。

∵AD=BC/2=BD

∴E是AB中點(diǎn)（三線(xiàn)合一）

∴DE∥AC（三角形中位線(xiàn)定理）

∴AC⊥AB,即∠BAC=90°

向量證明

設(shè)向量AD= d，向量AB= c，向量AC= b，向量BC= a

∵AD是中線(xiàn)

∴ b+ c=2 d

兩邊平方，去括號(hào)得

| b|2+2 b· c+| c|2=4| d|2

又∵| a|=2| d|

∴| a|2=4| d|2=| b|2+2 b· c+| c|2~~~①

而 a= b- c

兩邊平方，去括號(hào)得

| a|2=| b|2-2 b· c+| c|2~~~②

聯(lián)立①和②解得 b· c=0

∴ b⊥ c，即∠BAC=90°

解析幾何證明

以D為原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)B（-d，0），C（d，0），A（a，b），其中d>0且b≠0

∵|AD|=|CD|

直角三角形斜邊中線(xiàn)定理

直角三角形斜邊中線(xiàn)定理

∴d= ，即 =

直角三角形斜邊中線(xiàn)定理

=b/（a+d）， =b/（a-d）

∴AB⊥AC,即∠BAC=90°

注意a≠d，若a=d則表示A和C的橫坐標(biāo)相同，即AC⊥x軸，這樣就有了Rt∠ACB。而直角邊BC邊上的中線(xiàn)AD是不可能等于直角邊BC的一半的?！郺≠d，AC斜率存在。

如果直角三角形斜邊上一點(diǎn)與直角頂點(diǎn)的連線(xiàn)與該點(diǎn)分斜邊所得兩條線(xiàn)段中任意一條相等，那么該點(diǎn)為斜邊中點(diǎn)。

幾何語(yǔ)言：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D在A(yíng)B上，且AD=CD（或BD=CD），則AD=BD。

下面只證明當(dāng)AD=CD時(shí)的情況，BD=CD只需要改字母即可。

在Rt△ABC中，∠ACB=90°

∵AD=CD

∴∠A=∠ACD（等邊對(duì)等角）

∵∠A+∠B=90°（直角三角形兩銳角互余），∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°

∴∠B=∠BCD（等角的余角相等）

∴BD=CD（等角對(duì)等邊）

∴AD=BD（等量代換）

作DE⊥AC，垂足為E

∵AD=CD

∴E是AC中點(diǎn)（三線(xiàn)合一）

∵BC⊥AC

∴DE∥BC

∴D是AB中點(diǎn)（三角形中位線(xiàn)定理逆定理，或平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理的推論）

延長(zhǎng)CD到E，使DE=CD，連接AE

則AD=CD=CE/2

由逆定理1可知∠CAE=90°

∵∠ACB=90°

∴AE∥BC

∴∠AED=∠BCD

∵∠ADE=∠BDC，DE=CD

∴△ADE≌△BDC（ASA）

∴AD=BD

解析幾何證明：

以C為原點(diǎn)，CB、CA為坐標(biāo)軸建系，設(shè)B（b,0）、A（0,a）

又設(shè)AD/DB=t，t>0，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得

∴1=t2，t=1

即AD=DB

余弦定理證明：

設(shè)兩個(gè)銳角A，B所對(duì)的直角邊為a，b，斜邊為c，AD=CD=d。

∴對(duì)同一個(gè)角A，有：

cosA=（c2+b2-a2）/2bc=（1/4c2+b2-d2）/bc

∴（c2+b2-a2）=2×（1/4c2+b2-d2）

化簡(jiǎn)后得：1/2c2=b2+a2-2d2。

∵a2+b2=c2，∴1/2c2=2d2，d=1/2c（d=-1/2c舍去，不合題意）

∴AD=CD=1/2c，BD=AC-AD=c-1/2c=1/2c=AD=CD。

證法6

設(shè) 三角形的兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度分別為 a ，b，將三角形ABC 頂點(diǎn)A放置，AC在+Y 軸線(xiàn) AB在+x軸

直角邊AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 ai 直角邊 BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為b

斜邊BC 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1=-b+ai, BC中點(diǎn)D ，BD的復(fù)數(shù)為做z2=1/2 *z1=-b/2+ai/2

AD 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z2-A =-b/2+ai/2-ai=-b/2-ai/2 顯然 |z2-A| =|z1|/2 所以中線(xiàn)等于斜邊的一半